Administrando um Recurso Renovável. Suponha que a população de determinada espécie de peixe (por exemplor, atum ou linguado gigante) em certa área do oceano é descrita pela equação logística

Embora seja desejável utilizar essa fonte de alimento, é claro, instuitivamente, que, se forem pescados peixes demais, a população de peixes pode ser reduzida a um nível abaixo de utilizade, podemos até ser levada à extinção. Os problemas 20 e 21 exploram algumas das questões envolvidas na formulação de uma estratégia racional para administrar a pesca.

20. Para determinado nível de empenho, é ravoável supor que a taxa segundo a qual são pegos os peixes depende da população : quanto mais peixes existirem, mais fácil será pegá-los. Vamos supor então que a taxa segundo a qual os peixes são pegos é dada por , em que é uma constante positiva, com unidades iguais ao inverso do tempo, que mede o empenho total feito para administrar a espécie de peixe em consideração. Para incluir esse efeito, a equação logística é substituída por

Essa questão é conhecida como modelo de Schaefer, em homenagem ao biologista M. B. Schaefer, que a aplicou a população de peixes.

(a) Mostre que, se , então existem dois pontos de equilíbrio, e .

(b) Mostre que é instável e que é assintoticamente estável.

(c) Um produção sustentável de pesca é uma taxa segundo a qual os peixes podem ser pescados indefinidamente. É o produto do empenho com a população assintoticamente estável . Encontre em função do esforço ; o gráfico dessa função é conhecida como curva produção-empenho.

(d) Determine de modo a maximizar encontrando, assim, a produção máxima sustental .

(a) Em uma dada equação, quando buscando pontos de equilíbrio, queremos saber quando a derivada é nula, ou seja

Assim temos

Assim temos que nosso primeiro ponto de equilíbrio é dado em

O outro é dado por

Ou seja

Com

(b) Se os pontos em torno de um ponto de equilíbrio forem maiores que zero em ambos os lados, então temos estabilidade. Caso sejam menores que zero, temos instabilidade.

Então vamos primeiro em

Pela esquerda

O termo entre parênteses será maior que 1, assim teremos que , onde

Entretanto não podemos esquecer o fora do parênteses que será sempre negativo para valores menores que . Desta forma temos que

Já para o limite pela direita

O valores dentro do parênteses será menor que 1, assim temos que .

Enquanto o fora do parentes será sempre positivo assim temos que

O que torna um ponto instável

Agora para

Temos que assim

O que nos dá que para a derivada é positiva e para a derivada é negativa. Assim temos que é semi-estável (olhar exercício 7).

(c) Como indicado em nosso enunciado, uma produção sustentável é dada pelo produto do empenho pela produção assintoticamanete estável , ou seja

Incrível que o exercício nos deu a resposta.

(d) Para isso basta diferenciar em função de , ou seja

E para maximizar, queremos