Considere a equação dy/dt = f(y) e suponha que y₁ é um ponto crítico, ou seja, f(y₁) = 0 . Mostre que a solução de equilíbrio ϕ(t) = y₁ é assintoticamente estável se f' (y_1) < 0 e é assintoticamente instaável se f' (y1) > 0 .

Passo 1

Suponha que tenhamos uma função y ( t ) genérica. Para acharmos os pontos de equilíbrio, tomamos a derivada da nossa função em relação a t e igualamos a zero (Lembrar de cálculo 1), ou seja

d y d t = 0

Nos indicam nossos pontos de equilíbrio.

Passo 2

Vamos supor que f ' y 1 < 0 então a inclinação de f em y 1 é negativa. Portante temos que, f y > 0 para todo y < y 1 e f y < 0 para todo y > y 1 desde que f y 1 = 0 . Portanto temos que nosso ponto é dito assintoticamente estável.

O oposto vale para f ' y 1 > 0 , definindo que nosso ponto será assintoticamente instável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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