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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 17

(a) Resolva a equação de Gompertz

d y d t = r y ln ⁡ K y

Sujeita à condição inicial y 0 = y 0

(b) Para os dados no Exemplo 1 do texto ( r = 0,71 por ano, K = 80,5 × 10 6 K g , y 0 / K = 0,25 ) , use o modelo de Gompertz para encontrar o valor previsto de y 2 .

(c) Para os mesmos dados que no intem (b), use o modelo de Gompertz para encontrar o instante τ no qual y τ = 0,75 K .

Passo 1

Como sugerido no item (a), nosso primeiro passo tem que ser resolvendo nossa equação diferencial. Assim tome o passo a baixo.

Passo 2

(a) Vamos primeiro usar a ideia de separação de variáveis e reescrever nossa equação logística como

d y y ln ⁡ K y = r d t

Assim vamos apenas para facilitar nossa resolução fazer uma substituição. Tome ln ⁡ K y = u , o que implica que d u = - d y / y

Assim teremos

d u u = - r d t

Logo temos

u = C e - r t → ln ⁡ K / y = C e - r t

Que fica um coisa bem feia

y = K e C e - r t

Usando nossa condição inicial, temos que

y 0 = y 0 = K e C → C = ln ⁡ K y 0

Passo 3

(b) Para os dados do Exemplo 1 ( r = 0,71 ,   K = 80,5 × 10 6 K g ,   y 0 / K = 0,25 ) , temos

C = ln ⁡ K y 0 = ln ⁡ 1 0,25 = ln ⁡ 4

Tome também que

e ln ⁡ 4 e - r t ≈ 1,3981

Assim temos

y 2 = 80,5 × 10 6 K g 1,3981 ≈ 57,58 × 10 6

Passo 4

(c) para os mesmo dados, temos que

y τ = 0,75   K = K e ln ⁡ 4 e - r t → e ln ⁡ 4 e - r t = 4 3

E nada mais que pura matemática nos da

ln ⁡ 4 e - r t = ln ⁡ 4 3 → e - r t = ln ⁡ 4 3 / ln ⁡ 4

e - r t = ln ⁡ ln ⁡ 4 3 ln ⁡ 4 → τ ≈ 1,5725 0,71 = 2,215   a n o s

Resposta

  1. y = K e C e - r t ,   C = ln ⁡ K y 0
  2. 57,58 × 10 6
  3. 2,21   a n o s
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