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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 1a

1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:

a) f x ,   y = 4 x y 2 - 2 x 2 y - x

Passo 1

Galera, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar os pontos críticos dessa função. Para identificar esses pontos temos que resolver o seguinte sistema:

∂ f ∂ x = 0  

∂ f ∂ y = 0  

Ou seja, as derivadas parciais da função z   =   f ( x , y ) tem que ser iguais a zero.

Passo 2

Dessa forma, temos que:

∂ f ∂ x =   4 y 2 - 4 x y - 1

∂ f ∂ y =   8 x y - 2 x 2

Assim,

4 y 2 - 4 x y - 1 = 0 8 x y - 2 x 2 = 0

Agora, (in)felizmente temos um sistema para resolver.

Na segunda equação, temos isso aqui:

x 8 y - 2 x = 0

x = 0

e

8 y = 2 x

x = 4 y

Substituindo x = 4 y na primeira equação, temos:

4 y 2 - 4 ( 4 y ) y - 1 = 0

4 y 2 - 16 y 2 - 1 = 0

Você pode estar achando que errou alguma coisa, mas o fato é que não temos uma solução dentro dos reais para essa equação. Assim, ficamos somente com x = 0 .

Substituindo x = 0 , na primeira equação, temos:

4 y 2 - 1 = 0

y = ± 1 2

Portanto, nossos pontos críticos são: 0 , 1 2 ,   0 ,   - 1 2 .

A questão podia acabar aqui né?! Mas como a vida de universitário não é fácil, ainda temos que classificar esses pontos.

Passo 3

Para classificarmos os pontos críticos, ou seja, determinar se eles são pontos máximos ou mínimos vamos usar a matriz hessiana:

H   x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 ( x , y ) ∂ 2 f   ∂ y   ∂ x   ( x , y )           ∂ 2 f   ∂ x   ∂ y   ( x , y )           ∂ 2 f ∂ y 2 ( x , y )        

A primeira coisa pra resolver essa matriz é encontrar as derivadas parciais. Então, vamos lá!

∂ 2 f ∂ x 2 x , y = - 4 y

∂ 2 f   ∂ y   ∂ x   x , y = 8 y - 4 x

            ∂ 2 f   ∂ x   ∂ y   x , y = 8 y - 4 x          

∂ 2 f ∂ y 2 x , y = 8 x

Passo 4

Resolvendo a matriz para o ponto 0 , 1 2 :

H   0 , 1 2 = - 2 4           4         0    

H 0 , 1 2 =   0 - 16 = - 16

Resolvendo a matriz para o ponto 0 , - 1 2 :

H   0 , - 1 2 = 2 - 4         - 4         0    

H 0 , - 1 2 =   - 16 + 0 = - 16

Afinal, o que isso quer dizer????

Bom, como H   0 , 1 2 < 0 , esse é um ponto de sela. E, como H   0 , - 1 2 < 0 esse, também, é um ponto de sela.

Resposta

  0 , 1 2   é ponto de sela e   0 , - 1 2 é ponto de sela.

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1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:c) f x ,y = x y - x 3 - y 2
2-Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.a) f x , y = x - y 4 + x + y + 2 2 , ponto de mínimo.