Seja . Identifique o(s) ponto(s) crítico(s) de .

Considere a função

Encontre todos os pontos críticos de .

Suponha que a função tem um ponto crítico em no espaço. Se e são números reais positivos, então a função tem um ponto crítico em

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) a informação é insuficiente

Mostre que é um ponto crítico de , não importando o valor da constante .

Suponha que a função tem um ponto crítico em no espaço. Se e são números reais positivos, então a função tem um ponto crítico em

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) a informação é insuficiente

Seja , com e de classe em . Suponha que é ponto crítico de , e . Sabendo que e , calcule e

Considere a função

Encontre todos os pontos críticos da função , determinando o conjunto de pontos críticos de .

Questão 1

b) Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por quê ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se tem um mínimo local em e é diferenciável em , então

6 - Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, das funções relacionadas sujeitas ao respectivo vínculo indicado:

a) ;

Considere a função

1. Explicite as coordenadas de um vetor normal não nulo ao gráfico de em um ponto
2. Encontre todos os pontos críticos de
3. Encontre todos os pontos tais que o normal ao gráfico em seja paralelo ao vetor

Seja , em que , .

E seja , com .

1. Calcule o gradiente e os pontos críticos de .
2. Seja . Calcule e os pontos críticos de .
3. Escreva a equação cartesiana do plano tangente ao gráfico de no ponto . Explicite um vetor normal não nulo ao plano tangente neste ponto.

Considere a função

Encontre os pontos críticos de .

Considere a função .

1. Calcule o vetor gradiente de .
2. Encontre os pontos críticos de
3. Encontre os pontos do gráfico de onde o plano tangente é paralelo ao plano .
4. Escreva a aproximação linear de no ponto
5. Determine apenas um ponto do gráfico de onde a reta normal é paralela ao vetor Dica: uma reta é normal ao gráfico de uma função no ponto do gráfico se a reta passa por este ponto e se o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal de em .
6. Considere a curva de nível . Exiba a equação paramétrica da reta tangente a no ponto .

Seja e Então, podemos afirmar que (digite onde couber, ou selecione a opção correta, dentre as opções):

No interior da região , possui exatamente ? ponto(s) crítico(s), sendo ? ponto(s) de máximo local, ? ponto(s) de mínimo local e ? ponto(s) de sela. Na fronteira da região tem-se, por multiplicadores de lagrange, ? candidatos a pontos onde ocorrem os extremos absolutos de , em . O valor mínimo absoluto da função, em , é ? e ocorre em . Já o valor máximo absoluto, em , é ? e ocorre em .

Seja no domínio de . Então, o número de pontos críticos de é:

4

2

6 - Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, das funções relacionadas sujeitas ao respectivo vínculo indicado:

c) , ;

Considere a integral dupla:

Desenhe a região de integração, e inverta a ordem da integral. Resolva a integral (você pode escolher qual integral resolver: a dada nos exercícios ou a obtida pela inversão na ordem de integração).

Seja a função definida por

O ponto ______ é o único ponto de sela de .

A temperatura em um ponto (x, y) sobre uma placa metálica é , uma formiga sobre a chapa anda ao redor da circunferência de raio 5 centrada na origem. As temperaturas máxima e mínima encontradas pela formiga são:

Temperatura máxima:

Temperatura mínima:

No ponto , a função tem hessiano igual a..... Este ponto, que é crítico, é de ....

Determine os pontos críticos de classificando-os, quando possível, como ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de sela.

Seja . Determine o que se pede ou prove que não existe:

1. Pontos extremos de .
2. Pontos de sela de .
3. Ponto máximo e mínimo global de .

Classifique os pontos críticos da função

Considere a função .

Determine os pontos críticos de e classifique-os como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Seja a função definida por

Preencha os espaços vazios:

• é ponto de sela de .
• é ponto de máximo local de .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado pediu um ponto de sela e um ponto de máximo local de . Bom, para determinar isso, precisamos achar o valor de . Lembra dele?

Se:

• : ponto de sela
• e é ponto de mínimo relativo e é máximo relativo.

Sendo assim, precisamos encontrar os pontos críticos (derivando parcialmente e igualando a zero, formando um sistema) e testar nas derivadas segundas.

Mas calma que vou fazer junto com você!

Vamos nessa?

Passo 2

f x , y = 5 + e y ( y 2 - x 2 )

Primeiro em e ela deve ser zero:

Aqui temos apenas uma solução, que é quando , pois a exponencial não zera.

E em :

Então temos que satisfazer essa equação:

Vou colocar em evidência :

Aqui temos um produto de dois fatores e e isso deve ser zero. Bom nunca pode ser zero, então o termo

Deve ser zero.

Daí temos uma equação com duas soluções:

Aqui temos que ou ou , então as soluções são:

Sendo assim temos dois pontos críticos:

e

Agora precisamos achar as derivadas parciais segundas e depois testar os pontos.

Passo 3

A derivada em :

E derivando de novo:

Agora a derivada em :

Derivando de novo:

E agora a derivada cruzada. Vou pegar a derivada primeira em :

E derivar em :

Agora vamos montar o :

Passo 4

Agora vamos aplicar nos pontos críticos. Primeiro para :

D(0,0):

Então o ponto é ponto de sela.

E agora para :

D(0,-2):

Então como , precisamos testar para saber se é mesmo ponto de máximo relativo.

A função é:

E aplicado em :

Assim, como e temos que o ponto é ponto de máximo relativo.

E completando os espaços vazios:

Preencha os espaços vazios:

• é ponto de sela de .
• é ponto de máximo local de .

Ufa! Terminamos!

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

• é ponto de sela de .
• é ponto de máximo local de .

Prove que a função é crescente em todos os pontos

Seja uma função diferenciável. A frase:

“ Se o hessiano de em um ponto é positivo e , então é um ponto de máximo local de ”

É:

Verdadeira ou falsa?

Defina o que é ponto crítico de uma função diferenciável. Ache os pontos de mínimo e máximo da função

Sobre o conjunto

Questão 4 Determine os pontos da elipse que fornecem o maior e o menor valor da função .

Questão 6 Determine e classifique todos os pontos críticos da função

6 - Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, das funções relacionadas sujeitas ao respectivo vínculo indicado:

b) , ;

6 - Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, das funções relacionadas sujeitas ao respectivo vínculo indicado:

d) , .

(2) Considere , definida em todo . Responda:

e) Determine os pontos críticos de .

Suponha que uma função seja diferenciável em todo o plano e tenha um único ponto crítico em , com . Então podemos garantir que a função

1. Possui exatamente dois pontos críticos, em e
2. Possui pelo menos cinco pontos críticos
3. Possui um único ponto crítico em
4. Possui um único ponto crítico em
5. Possui exatamente dois pontos críticos, em e

Dada a função , determine os seus pontos críticos e classifique-os.

Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:

a.

Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:

b.

Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:

c.

Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:

d.

Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:

f.

Determine os valores de a para os quais a função

a. tenha exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local;

Determine os pontos críticos de e classifique-os. Sugestão: é mais fácil não tentar usar o critério da segunda derivada.

.

Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:

e.

Determine os pontos críticos de e classifique-os. Sugestão: é mais fácil não tentar usar o critério da segunda derivada.

a.

Determine os pontos críticos de e classifique-os. Sugestão: �� mais fácil não tentar usar o critério da segunda derivada.

b.

Determine os valores de a para os quais a função

d. Existe a ∈ R para o qual a função tenha mais de 3 pontos críticos?