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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 1e

1. Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:

e) 4 y 2 e - ( x 2 + y 2 )

Passo 1

Para analisar a natureza dos pontos críticos, primeiro precisamos encontrá-los, e para isso, precisamos resolver o seguinte sistema:

∂ f ∂ x = - 8 x . e - x 2 + y 2 = 0 ∂ f ∂ y = 8 y e - ( x 2 + y 2 ) - 8 y 3 e - ( x 2 + y 2 ) = 0

Da primeira equação, temos que:

∂ f ∂ x = - 8 x . e - x 2 + y 2 = 0 ↔ x = 0

E da segunda temos:

8 y e - ( x 2 + y 2 ) - 8 y 3 e - x 2 + y 2 = 0 ↔ y = y 3 ↔ y = 1   o u   y = - 1   o u   y = 0

Sabendo essas condições, os pontos críticos são ( 0,1 ) , ( 0 , - 1 ) e ( 0,0 ) . Agora que temos as condições, vamos calcular o valor da função nesses pontos e comparar como ela se comporta nos outros pontos do domínio.

f x , y = 4 y 2 e - ( x 2 + y 2 ) → f 0,0 = 0

f x , y = 4 y 2 e - ( x 2 + y 2 ) → f 0,1 = f ( 0 , - 1 ) = 4.1 . e - ( 0 + 1 ) = 4 e

Note que à medida que x 2 + y 2 cresce, f ( x , y ) decresce e por isso 0,1 = f ( 0 , - 1 ) = 4 e são pontos de máximo relativo e ( 0,0 ) é um ponto de sela

Resposta

Analise acima.

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