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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 1c

1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:

c) f x ,   y = x y - x 3 - y 2

Passo 1

Galera, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar os pontos críticos dessa função. Para identificar esses pontos temos que resolver o seguinte sistema:

∂ f ∂ x = 0  

∂ f ∂ y = 0  

Ou seja, as derivadas parciais da função z   =   f ( x , y ) tem que ser iguais a zero.

Passo 2

Dessa forma, temos que:

∂ f ∂ x =   y - 3 x 2

∂ f ∂ y =   x - 2 y

Assim,

y - 3 x 2 = 0 x - 2 y = 0

Agora, (in)felizmente temos um sistema para resolver.

Da segunda equação, podemos tirar isso aqui:

x = 2 y

Substituindo x = 2 y na primeira equação, temos:

y - 3 2 y 2 = 0

y   1 - 12 y = 0

y = 0

E

1 - 12 y = 0

y = 1 12

Para y = 0 , temos:

x = 2 × 0 = 0

Para y = 1 12 , temos:

x = 2 × 1 12 = 1 6

A questão podia acabar aqui né?! Mas como a vida de universitário não é fácil, ainda temos que classificar esse pontos.

Passo 3

Para classificarmos os pontos críticos, ou seja, determinar se eles são pontos máximos ou mínimos vamos usar a matriz hessiana:

H   x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 ( x , y ) ∂ 2 f   ∂ y   ∂ x   ( x , y )           ∂ 2 f   ∂ x   ∂ y   ( x , y )           ∂ 2 f ∂ y 2 ( x , y )        

A primeira coisa pra resolver essa matriz é encontrar as derivadas parciais. Então, vamos lá!

∂ 2 f ∂ x 2 x , y = - 6 x

∂ 2 f   ∂ y   ∂ x   x , y = 1

            ∂ 2 f   ∂ x   ∂ y   x , y = 1          

∂ 2 f ∂ y 2 x , y = - 2

Passo 4

Resolvendo a matriz para o ponto 0,0 :

H   0 , 1 2 = 0 1           1         - 2    

H 0,0 =   - 1

Resolvendo a matriz para o ponto 1 6 , 1 12 :

H   0 , - 1 2 = - 1 1         1         - 2    

H 1 6 , 1 12 =   2 - 1 = 1

Afinal, o que isso quer dizer ????

Bom, como H   0 , 0 < 0 este é um ponto de sela.

Como H   1 6 , 1 12 > 0 e ∂ 2 f ∂ x 2 1 6 , 1 12 < 0 este é um ponto se máximo relativo.

Resposta

0,0   ponto de sela e 1 6 , 1 12 máximo relativo.

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1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:a) f x ,y = xs e ny
2- Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.b) f x , y = 1 - x 4 - y 4 , ponto de máximo.
1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:a) f x ,y = x 2 + x y + y 2 + 1 x + 1 y
2-Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.a) f x , y = x - y 4 + x + y + 2 2 , ponto de mínimo.