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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 1d

1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:

a) f x ,   y = x 2 + x y + y 2 + 1 x + 1 y

Passo 1

Galera, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar os pontos críticos dessa função. Para identificar esses pontos temos que resolver o seguinte sistema:

∂ f ∂ x = 0  

∂ f ∂ y = 0  

Ou seja, as derivadas parciais da função z   =   f ( x , y ) tem que ser iguais a zero.

Passo 2

Dessa forma, temos que:

∂ f ∂ x =   2 x + y - 1 x 2

∂ f ∂ y =   x + 2 y - 1 y 2  

Assim,

2 x + y - 1 x 2 = 0 x + 2 y - 1 y 2 = 0

2 x 3 + x y 2 - 1 = 0 2 y 3 + x y 2 - 1 = 0

Agora, (in)felizmente temos um sistema para resolver.

Na segunda equação, temos isso aqui:

x = 1 y 2 - 2 y

Substituindo x = 1 y 2 - 2 y na primeira equação:

2 1 y 2 - 2 y 3 + 1 y 2 - 2 y   y 2 - 1 = 0

2 1 y 2 - 2 y 3 + 1 - 2 y 3 - 1 = 0

2 y 3 = 2 1 y 2 - 2 y 3

y = 1 y 2 - 2 y

y 3 + 2 y 3 - 1 = 0

3 y 3 = 1

y = 1 3 3

Para y = 1 3 3 :

x = 1 1 3 3 2 - 2 1 3 3 = 9 3 - 2 3 3 = 27 3 - 2 3 3 = 1 3 3

Portanto, nosso ponto crítico é: 1 3 3 , 1 3 3 .

Vamos para a próxima etapa do exercício que é classificar esse ponto crítico.

Passo 3

Para classificarmos os pontos críticos, ou seja, determinar se eles são pontos máximos ou mínimos vamos usar a matriz hessiana:

H   x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 ( x , y ) ∂ 2 f   ∂ y   ∂ x   ( x , y )           ∂ 2 f   ∂ x   ∂ y   ( x , y )           ∂ 2 f ∂ y 2 ( x , y )        

A primeira coisa pra resolver essa matriz é encontrar as derivadas parciais. Então, vamos lá!

∂ 2 f ∂ x 2 x , y = 2 + 2 x 3

∂ 2 f   ∂ y   ∂ x   x , y = 1

            ∂ 2 f   ∂ x   ∂ y   x , y = 1          

∂ 2 f ∂ y 2 x , y = 2 + 2 y 3

Passo 4

Resolvendo a matriz para o ponto 1 3 3 , 1 3 3 :

H   1 3 3 , 1 3 3 = 8 1       1         8    

H 1 3 3 , 1 3 3 =   64

Afinal, o que isso quer dizer ????

Bom, como H 1 3 3 , 1 3 3 > 0   e ∂ 2 f ∂ x 2 1 3 3 , 1 3 3 > 0   este é um ponto de mínimo relativo.

Resposta

  1 3 3 , 1 3 3   é um ponto de mínimo relativo.

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