Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 2a
2-Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.
a) , ponto de mínimo.
Passo 1
Bom, para estudar a natureza dos pontos críticos, primeiro vamos encontrá-los. Para encontrá-los precisamos resolver o seguinte sistema:
Da segunda equação temos que:
Agora substituimos a equação acima na primeira equação do nosso sistema, daí obtemos:
Esse é nosso conjunto de pontos críticos. Como não podemos analisar todos os pontos vamos aplicar o teste da segunda derivada. Para isso vamos calcular as segundas derivadas de
Agora vamos calcular e ver se satisfaz alguma das hipóteses do teste da segunda derivada (lembrando que ):
Como , temos:
Como e no nosso domínio existem pontos tal que , então existem pontos onde assume mínimo relativo.
Resposta
Verificação acima.