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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 1

1)Calcular ∬_R^() (x^2 + y^2)^2 d x d y onde R é a região da Figura 7.32.

Passo 1

Ao analisar o gráfico, temos:

0 <= r <= 2

- (pi)/(2) <= theta <= (pi)/(2)

Pelas coordenadas polares, temos que:

x = r * cos theta

y = r * sen theta

J a c o b i a n o = r

Dessa forma, temos:

x^2 + y^2 = r^2 * cos^2 theta + r^2 * sen^2 theta

cos^2 + sen^2 = 1

Logo,

= r^2 * cos^2 theta + r^2 * sen^2 theta = r^2

Dessa forma, temos:

∬_(- (pi)/(2) 0)^((pi)/(2) 2) (r^2)^2 r d r d theta

Passo 2

Primeiro vamos integrar com relação a r ,

int_0^2 r^5 d r =

((r^6)/(6)|_0^2 = (64)/(6)

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a theta ,

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (64)/(6) d theta =

((64)/(6) theta|_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) = (64)/(6) * (pi)/(2) + (64)/(6) * (pi)/(2) = (32)/(3) pi

Resposta

(32)/(3) pi

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Uma região é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∫ R ∫ f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma arbitrária qualquer contínua em R .2-
Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∫ R ∫ f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma arbitrária qualquer contínua em R .1
Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma arbitrária qualquer contínua em R .
Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares. ∫ 0 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 x 2 y 2d x d y
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.20- A região dentro do círculo r = 4s e nθ e fora do círculo r = 2