1)Calcular ∬_R^() (x^2 + y^2)^2 d x d y onde R é a região da Figura 7.32.

Passo 1

Ao analisar o gráfico, temos:

0 <= r <= 2

- (pi)/(2) <= theta <= (pi)/(2)

Pelas coordenadas polares, temos que:

x = r * cos theta

y = r * sen theta

J a c o b i a n o = r

Dessa forma, temos:

x^2 + y^2 = r^2 * cos^2 theta + r^2 * sen^2 theta

cos^2 + sen^2 = 1

Logo,

= r^2 * cos^2 theta + r^2 * sen^2 theta = r^2

Dessa forma, temos:

∬_(- (pi)/(2) 0)^((pi)/(2) 2) (r^2)^2 r d r d theta

Passo 2

Primeiro vamos integrar com relação a r ,

int_0^2 r^5 d r =

((r^6)/(6)|_0^2 = (64)/(6)

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a theta ,

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (64)/(6) d theta =

((64)/(6) theta|_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) = (64)/(6) * (pi)/(2) + (64)/(6) * (pi)/(2) = (32)/(3) pi

Resposta

(32)/(3) pi

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