1)Calcular ∬ R x 2 + y 2 2   d x   d y onde R é a região da Figura 7.32.

Passo 1

Ao analisar o gráfico, temos:

0 ≤ r ≤ 2

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Pelas coordenadas polares, temos que:

x = r ⋅ cos ⁡ θ

y = r ⋅ sen ⁡ θ

J a c o b i a n o = r

Dessa forma, temos:

x 2 + y 2 = r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + r 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ

cos 2 ⁡ + sen 2 ⁡ = 1

Logo,

= r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + r 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ = r 2

Dessa forma, temos:

∬ - π 2     0 π 2     2 r 2 2   r   d r   d θ

Passo 2

Primeiro vamos integrar com relação a r ,

∫ 0 2 r 5 d r =

r 6 6 0 2 = 64 6

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a θ ,

∫ - π 2 π 2 64 6   d θ   =

64 6 θ - π 2 π 2 = 64 6 ⋅ π 2 + 64 6 ⋅ π 2 = 32 3 π

Resposta

32 3 π

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