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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 2

2)Calcular ∬_R^() sen (x^2 + y^2) d x d y onde R é a região da Figura 7.33.

Passo 1

Ao analisar o gráfico, temos:

- 2 <= r <= 2

0 <= theta <= pi

Pelas coordenadas polares, temos que:

x = r * cos theta

y = r * sen theta

J a c o b i a n o = r

Dessa forma, temos:

x^2 + y^2 = r^2 * cos^2 theta + r^2 * sen^2 theta

cos^2 + sen^2 = 1

Logo,

= r^2 * cos^2 theta + r^2 * sen^2 theta = r^2

Dessa forma, temos:

∬_(0 0)^(pi 2) ( sen r^2 ) r d r d theta

Passo 2

Primeiro vamos integrar com relação a r ,

int_0^2 ( sen r^2 ) r d r =

Nesse caso, vamos resolver pelo método da substituição. Vamos chamar,

u = r^2

d u = 2 r :. r = (d u)/(2)

Dessa forma:

(1)/(2) int sen u d u

= (1)/(2) * (- cos u) + c

Voltando com u = r^2

((1)/(2) (- cos r^2)|_0^2 =

(1)/(2) * ( - cos 4 + 1 )

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a theta ,

int_0^(pi) - (1)/(2) cos 4 + (1)/(2) d theta =

((1)/(2) - (1)/(2) cos 4|_0^(pi) = (- (1)/(2) cos 4 + (1)/(2)) pi

Resposta

(- (1)/(2) cos 4 + (1)/(2)) pi

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