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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 3l

1.Calcule.

A) int tan x sec^3 x d x

Passo 1

Uma questão que precisaremos fazer uma simples substituição, mas vamos com calma e atenção. Antes de fazermos a integral propriamente, iremos dar uma mudada na “cara” da integral para ficar mais fácil a sua substituição, vamos lá:

int tan x sec^3 x d x = int sec^2 x tan x sec x d x

Com essa mudança apenas no aspecto, chamaremos sec x de u :

sec x = u

Temos que ter TODOS os termos em função de u , inclusive d x e como faremos isso? Sem estresse, iremos derivar a expressão:

( sec x ) ' = ( u ) '

sec x tan x d x = d u

Passo 2

Momento de reflexão: Temos tudo em função de u ? Quase né, falta colocarmos a sec^2 x em função de u , e não é difícil, vem comigo:

sec x = u

Elevando ao quadrado:

sec^2 x = u^2

Não se esqueça do d x , é um passo importante para resolvermos:

sec x tan x d x = d u

Agora temos tudo em função de u , nossa primeira missão foi concluída, Substituiremos:

int tan x sec^3 x d x = int sec^2 x tan x sec x d x = int u^2 d u

Passo 3

A integral acima é café com leite, lembra? Está aí caso não lembre: ( int u^n d u = (1)/(n + 1) u^(n + 1) + c ):

Para a nossa integral, n = 2 :

int u^2 d u = (1)/(3) u^3 + c

A nossa resposta não deve ser em função de u hein, mas sim em função de x ( sec x = u ) . Retornando e obteremos a resposta:

int tan x sec^3 x d x = (1)/(3) sec^3 x + c

Resposta

int tan x sec^3 x d x = (1)/(3) sec^3 x + c

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