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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 3l

1.Calcule.

A) int tan x sec^3 x d x

Passo 1

Uma questão que precisaremos fazer uma simples substituição, mas vamos com calma e atenção. Antes de fazermos a integral propriamente, iremos dar uma mudada na “cara” da integral para ficar mais fácil a sua substituição, vamos lá:

int tan x sec^3 x d x = int sec^2 x tan x sec x d x

Com essa mudança apenas no aspecto, chamaremos sec x de u :

sec x = u

Temos que ter TODOS os termos em função de u , inclusive d x e como faremos isso? Sem estresse, iremos derivar a expressão:

( sec x ) ' = ( u ) '

sec x tan x d x = d u

Passo 2

Momento de reflexão: Temos tudo em função de u ? Quase né, falta colocarmos a sec^2 x em função de u , e não é difícil, vem comigo:

sec x = u

Elevando ao quadrado:

sec^2 x = u^2

Não se esqueça do d x , é um passo importante para resolvermos:

sec x tan x d x = d u

Agora temos tudo em função de u , nossa primeira missão foi concluída, Substituiremos:

int tan x sec^3 x d x = int sec^2 x tan x sec x d x = int u^2 d u

Passo 3

A integral acima é café com leite, lembra? Está aí caso não lembre: ( int u^n d u = (1)/(n + 1) u^(n + 1) + c ):

Para a nossa integral, n = 2 :

int u^2 d u = (1)/(3) u^3 + c

A nossa resposta não deve ser em função de u hein, mas sim em função de x ( sec x = u ) . Retornando e obteremos a resposta:

int tan x sec^3 x d x = (1)/(3) sec^3 x + c

Resposta

int tan x sec^3 x d x = (1)/(3) sec^3 x + c

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(a) Calcule a integral de três maneiras: usando a substituição u = x , usando a substituição u = 2 - x , e completando o quadrado. ∫ 1 2 x - x 2d x (b) Mostre que as respostas de (a) são equivalentes.
Calcule a integral com a ajuda de uma substituição u apropriada. ∫ x tan 2 ⁡ ( x 2 ) sec 2 ⁡ ( x 2 ) d x
Calcule a integral com a ajuda de uma substituição u apropriada. ∫ d x x ln ⁡ x
Calcule a integral com a ajuda de uma substituição u apropriada. ∫ 0 9 x x + 9 d x
Encontre uma substituição que possa ser usada para integrar uma função racional de s e n hx e c o s hx e a use para calcular ∫ d x 2 cosh ⁡ x + s e n hx sem expressar a integral em termos de e x e e -