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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 16a

1.Calcule

C) int_((- pi)/(2))^((pi)/(2)) sin 3 x cos x d x

Passo 1

Lembrando da Formula :

sin a cos b = (1)/(2) [sin ( a + b ) + sin ( a - b )]

Para a = 3x e b = x temos :

sin 3 x cos x = (1)/(2) [sin ( 4 x ) + sin ( 2 x )]

Passo 2

Agora substituiremos a expressão na integral e calcularemos sua primitiva :

int sin 3 x cos x d x = (1)/(2) int sin (4 x) d x + (1)/(2) int sin (2 x) d x

int sin 3 x cos x d x = (1)/(2) [- (1)/(4) cos (4 x)] + (1)/(2) [(1)/(2) cos (2 x)] + C

int sin 3 x cos x d x = (- 1)/(8) cos (4 x) + (1)/(4) cos (2 x) + C

Passo 3

Lembrando que : cos x = cos ( - x )

Calcularemos a Integral definida :

int_((- pi)/(2))^((pi)/(2)) sin 3 x cos x d x = (- 1)/(8) cos (2 pi) + (1)/(4) cos (pi) - ((- 1)/(8) cos (- 2 pi) + (1)/(4) cos (- pi))

int_((- pi)/(2))^((pi)/(2)) sin 3 x cos x d x = = (- 1)/(8) cos (2 pi) + (1)/(4) cos (pi) + (1)/(8) cos (2 pi) - (1)/(4) cos (pi)

Lembrando que cos (2 pi) = 0 e cos (pi) = - 1 , temos:

Resposta

int_((- pi)/(2))^((pi)/(2)) sin 3 x cos x d x = 0

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