1-Estude s função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais.

a) f(x) = x / (1 + x^2)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? A primeira coisa a fazer aqui é encontrar os pontos críticos, para isso vamos igualar a primeira derivada à zero.

Para essa derivada vamos aplicar a regra do quociente,

f ' x = x ' 1 + x 2 - x ( 1 + x 2 ) ' 1 + x 2 2

Derivando,

f ´ x = 1 + x 2 - x 2 x 1 + x 2 2 = - x 2 + 1 1 + x 2 2

Igualando a derivada à zero:

- x 2 + 1 = 0

x 2 = 1

x = ± 1

Cara, como o nosso denominador nunca se anula só temos esses pontos críticos:

x = ± 1

Agora vamos analisar os sinais!

Passo 2

A ideia é verificar quando a nossa derivada vai ser positiva ou negativa em cada intervalo.

Repara que para valores menores que - 1 e maiores de + 1 a derivada é negativa. E para valores entre - 1   e + 1 , ela será positiva.

Cara, como antes de x = - 1 , f ´ x < 0 e depois, f ´ x > 0 , para esse ponto temos um mínimo relativo. O contrário acontece ao redor de x = + 1 , portanto, esse é um máximo relativo.

Passo 3

Também temos que avaliar a função f ( x ) quando x → ± ∞ :

lim x → ± ∞ ⁡ x 1 + x 2 = lim x → ± ∞ ⁡ x x 1 1 x + x = lim x → ± ∞ ⁡ 1 0 + x = 0

Isso nos leva a concluir uma coisa, como só temos um máximo relativo, nesse caso ele também é máximo global. Da mesma forma, o nosso mínimo relativo também é global.

Fim!

Resposta

x = + 1 Máximo relativo e máximo global.

x = - 1 Mínimo relativo e mínimo global.

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