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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 7

Determine a altura do cone circular reto, de volume máximo, e com geratriz a dada.

Passo 1

Vamos lembrar da geometria espacial, a seguinte relação para um cone circular reto de raio r e altura h , com geratriz a :

a 2 = r 2 + h 2

r 2 = a 2 - h 2

Desse modo, a função y do volume do cone ficará assim:

y r , h = 1 3 π r 2 h

y h = π 3 a 2 - h 2 h

y h = π 3 a 2 h - π 3 h 3

Passo 2

Como queremos que o volume seja máximo, temos que obter o máximo global da função y h . Então, primeiro derivamos e igualamos a 0 , lembrando que a é uma constante dada:

y ' h = π 3 a 2 - π h 2

π 3 a 2 - π h 2 = 0

h = a 3

Note que lim h → 0 + ⁡ y h = 0 e lim h → + ∞ ⁡ y h = - ∞ , onde h → 0 + e h → + ∞ seriam os “extremos” do domínio da função.

Logo, o volume é realmente máximo para h = a 3 .

Resposta

h = a 3

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