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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 141

Á área total da superfície S de um cilindro circular reto está relacionada com o raio da base r e a altura h pela equação S = 2 π r 2 + 2 π r h

a ) Como d S / d t está relacionada com d r / d t se h é constante?

b ) Como d S / d t está relacionada com d h / d t se r é constante?

c ) Como d S / d t está relacionada com d r / d t e d h / d t se nem r nem h são constantes?

d ) Como d r / d t está relacionada com d r / d t se h é constante?

Passo 1

Para resolver qualquer uma dessas letras, a primeira coisa que temos que fazer é derivar implicitamente a equação da superfície. A derivada implícita vai ser aquela que quando derivarmos algo que não seja t , devemo colocar a derivada junto. Por que r , h , S , a princípio, são funções do tempo.

A equação que relaciona todas elas é:

S = 2 π r 2 + 2 π r h

A derivada do lado esquerdo é direto porque só tem o S . Vamos derivar o lado direito primeiro então:

2 π r 2 + 2 π r h ' = 2 π r 2 ' + 2 π r h '

2 π r 2 + 2 π r h ' = 4 π r r ' + 2 π r h '

Para o segundo termo, vamos usar a regra da cadeia:

2 π r 2 + 2 π r h ' = 4 π r r ' + 2 π r ' h + 2 π r h '

2 π r 2 + 2 π r h ' = 4 π r r ' + 2 π h r ' + 2 π r h '

Vamos ter no final:

S ' = 4 π r r ' + 2 π h r ' + 2 π r h '

Ele está usando uma nomenclatura diferente, vamos escrever dessa forma. Para isso, vamos ver que:

S ' = d S d t

r ' = d r d t

h ' = d h d t

Nossa equação fica:

d S d t = 4 π r d r d t + 2 π h d r d t + 2 π r d h d t

Vamos para as alternativas

Passo 2

Partindo de:

d S d t = 4 π r d r d t + 2 π h d r d t + 2 π r d h d t

Se h é constante, sua derivada é 0 . Fazendo:

d h d t = 0

Vamos ter:

d S d t = 4 π r d r d t + 2 π h d r d t

Que é a relação que ele pediu.

Passo 3

Partindo de:

d S d t = 4 π r d r d t + 2 π h d r d t + 2 π r d h d t

Se r é constante, sua derivada é 0 . Fazendo:

d r d t = 0

Vamos ter:

d S d t = 2 π r d h d t

Que é a relação que ele pediu.

Passo 4

Partindo de:

d S d t = 4 π r d r d t + 2 π h d r d t + 2 π r d h d t

Se não temos constantes, então a expressão já é essa mesma.

Passo 5

Partindo de:

d S d t = 4 π r d r d t + 2 π h d r d t + 2 π r d h d t

Se S é constante, sua derivada é 0 . Fazendo:

d S d t = 0

Vamos ter:

4 π r d r d t + 2 π h d r d t + 2 π r d h d t = 0

Que é a relação que ele pediu.

Resposta

Letra a

d S d t = 4 π r d r d t + 2 π h d r d t

Letra b

d S d t = 2 π r d h d t

Letra c

d S d t = 4 π r d r d t + 2 π h d r d t + 2 π r d h d t

Letra d

4 π r d r d t + 2 π h d r d t + 2 π r d h d t = 0

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