20. Encontre o ponto sobre a curva y = x que está mais próximo do ponto ( 3,0 ) .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. queremos encontrar o ponto sobre a curva y = x que está mais próximo do ponto ( 3,0 ) .

Para fazemos isso, basta pegarmos um ponto da curva e minimizar sua distância até o ponto ( 3 ,   0 ) .

Essa minimização a gente faz através da derivada!!

Bora lá?? 😉

Passo 2

Da nossa função, temos:

y = x

Então o ponto será o seguinte:

P = x , x

Calculando sua distância d até a origem, ou seja, x 0 , y 0 = 0,0 :

d = x - x 0 2 + y - y 0 2 ∴

d = x - 3 2 + x - 0 2 ∴

d = x - 3 2 + x 2

Passo 3

Arrumando as coisas, temos:

d ( x ) = x 2 - 6 x + 9 + x

Assim,

d ( x ) = x 2 - 5 x + 9

Para minimizar, vamos derivar e igualar a zero!

d ' x = 1 2 ⋅ 1 x 2 - 5 x + 9 ⋅ 2 x - 5

d ' x = 0

Logo,

2 x - 5 ) 2 ⋅ x 2 - 5 x + 9 = 0

Portanto,

2 x - 5 = 0 → x = 5 2

Logo, x = 5 / 2 será um ponto de mínimo.

Passo 4

Agora é só acharmos o ponto.

P = x , x

x = 5 / 2 :

P = 5 2 , 5 2

Portanto,

P = 5 2 , 10 2

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

P = 5 2 , 10 2

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