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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 35

35. Uma janela em estilo normando consiste em um retângulo com um semicírculo sobre ele. Se o perímetro de uma janela normanda for de 10m, determine qual deve ser o raio do semicírculo e a altura do retângulo, tal que a janela deixe passar o máximo de luz.

Passo 1

Precisamos localizar as figuras e então calcular um ponto de máximo pra que passa a maior quantidade de luz possível.

Passo 2

Vamos chamar de r o raio do semicírculo e 2 r o largura do retângulo. Então a altura do retângulo será h = ( 10 - π r - 2 r ) 2 , 10 é o perímetro, π r é o comprimento do semicírculo e 2 r é a largura do retângulo, tudo sobre 2 porque que a altura de um lado só.

Certinho?

Passo 3

Como queremos que o máximo de luz passe, vamos calcular a ára da janela, A ( r ) m2.

A r = π r 2 2 + 2 r . ( 10 - π r - 2 r ) 2 (a área do semicírculo + área do retângulo)

A r = 32 r - π 2 + 2 . r 2

Passo 4

Para área máxima, precisamos derivar A r e igualar a 0:

A ' r = 32 -   π + 4 r = 0

32 -   π + 4 r = 0

32 =   π + 4 r

r = 32 π + 4

Esse é o raio do semicírculo.

A altura do retângulo, com o r que descobrimos, será:

h = ( 10 - π ( 32 π + 4 ) - 2 ( 32 π + 4 ) ) 2 = 32 π + 4

Mesmo valor do raio

Passo 5

Com o teste da segunda derivada, vamos poder afirmar se os valores que achamos fornecem a maior área possível.

A ' ' r = -   π + 4

Como A ' ' r < 0 , o valor que encontramos para r maximiza a área!

Pronto, temos o raio e a altura do retângulo.

Resposta

r = h = 32 π + 4

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