21 - Continuando o Problema 20, mostre que o ponto crítico (0,0) é

(a)Assintoticamente estável, se q > 0 e p < 0 ;

(b)Estável, se q > 0 e p = 0 ;

(c)Instável, se q < 0 ou p > 0 .

Os resultados dos Problemas 20 e 21 estão resumidos visualmente na Figura 9.1.9

Passo 1

Temos a equação característica como:

r 2 - p r + q = 0

E os valores próprios são dados por:

r 1,2 = p ± ∆ 2

Onde  ∆ = p 2 - 4 q .

Passo 2

(A) Se q > 0 e p < 0 , então os autovalores são conjugados complexos com partes reais negativas e, portanto, o ponto crítico é assintoticamente estável.

Passo 3

(B) Se q > 0 e p = 0 , então os valores próprios são puramente imaginários e, portanto, o ponto crítico ( 0,0 ) é um centro e é estável.

Passo 4

(C) Se q < 0 , então os autovalores são reais  r 1 r 2 > 0 .

E se p > 0 , os autovalores são reais  r 1 , r 2 ≥ 0 ou os autovalores são conjugados complexos com partes reais positivas e, portanto, o ponto crítico é instável em ambos os casos.

Resposta

(A) Se q > 0 e p < 0 , então os autovalores são conjugados complexos com partes reais negativas e, portanto, o ponto crítico é assintoticamente estável.

(B) Se q > 0 e p = 0 , então os valores próprios são puramente imaginários e, portanto, o ponto crítico ( 0,0 ) é um centro e é estável.

(C) Se q < 0 , então os autovalores são reais  r 1 r 2 > 0 .

E se p > 0 , os autovalores são reais  r 1 , r 2 ≥ 0 ou os autovalores são conjugados complexos com partes reais positivas e, portanto, o ponto crítico é instável em ambos os casos.

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