21 - Continuando o Problema 20, mostre que o ponto crítico ( 0,0 ) é(a)Assintoticamente estável, se q0 e p0 ;(b)Estável, se q0 e p = 0 ;(c)Instável, se q0 ou p0 .Os resultados dos Problemas 20 e 21 estão resumidos visualmente na Figura 9.1.9

(A) Se q0 e p0 , então os autovalores são conjugados complexos com partes reais negativas e, portanto, o ponto crítico éassintoticamente estável.(B) Se q0 e p = 0 , então os valores próprios são puramente imaginários e, portanto, o ponto crítico ( 0,0 ) é um centro e éestável.(C) Se q0 , então os autovalores são reais r 1 r 20 .E se p0 , os autovalores são reais r 1 , r 2 ≥ 0 ou os autovalores são conjugados complexos com partes reais positivas e, portanto, o ponto crítico éinstávelem ambos os casos.

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 21

21 - Continuando o Problema 20, mostre que o ponto crítico é

(a)Assintoticamente estável, se e ;

(b)Estável, se e ;

(c)Instável, se ou .

Os resultados dos Problemas 20 e 21 estão resumidos visualmente na Figura 9.1.9

Passo 1

Temos a equação característica como:

E os valores próprios são dados por:

Onde .

Passo 2

(A) Se e , então os autovalores são conjugados complexos com partes reais negativas e, portanto, o ponto crítico é assintoticamente estável.

Passo 3

(B) Se e , então os valores próprios são puramente imaginários e, portanto, o ponto crítico é um centro e é estável.

Passo 4

E se , os autovalores são reais ou os autovalores são conjugados complexos com partes reais positivas e, portanto, o ponto crítico é instável em ambos os casos.

Resposta

(A) Se e , então os autovalores são conjugados complexos com partes reais negativas e, portanto, o ponto crítico é assintoticamente estável.

(B) Se e , então os valores próprios são puramente imaginários e, portanto, o ponto crítico é um centro e é estável.

E se , os autovalores são reais ou os autovalores são conjugados complexos com partes reais positivas e, portanto, o ponto crítico é instável em ambos os casos.

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