21-24. Encontre uma equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.

21.

y = tan ⁡ x ,     π 4 , 1

Passo 1

Fala aí. Tudo belezinha com você?

Bom, essa questão pede pra gente encontrar uma equação da reta tangente à curva da função:

y = tan ⁡ x

No ponto:

π 4 , 1

E pra isso precisamos lembrar que a definição da derivada de uma função em um ponto específico é, justamente, o coeficiente angular da reta tangente a curva da função nesse ponto.

E a equação de uma reta em um ponto específico é:

y - y o = m x - x o

Sendo m seu coeficiente angular. Sendo assim:

m = y ' x 0 , y 0

Então, basta encontrarmos a derivada da curva no ponto dado e fazer a substituição na equação da reta tangente.

Vem que te ajudo com isso.

Passo 2

Vamos fazer a derivada da curva no ponto, sendo:

y = tan ⁡ x

Perceba que essa é uma função trigonométrica e sua derivada é tabelada.

O ideal é tentar gravar as derivadas da maioria das funções trigonométricas. Ok?

Assim:

y ' = tan ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x  

Já temos a derivada, agora vamos substituir no ponto pedido. Assim:

m = y ' π 4 = sec 2 ⁡ π 4

E calculando teremos:

m = 2 2   = 2

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Passo 3

Substituindo na equação da reta e lembrando que o ponto é π 4 , 1

y - y o = m x - x o

y - 1 = 2 ( x - π 4 )

E organizando, ficamos com:

y - 1 = 2 x - π 2

Isolando o y , temos:

y = 2 x + 1 - π 2

E prontinho. Essa é a nossa equação da reta tangente que estávamos procurando! Vamos para a próxima!

Resposta

y = 2 x + 1 - π 2

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