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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.4 - Ex. 15

15. Diferencie

y = sec ⁡ θ tan ⁡ θ

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha?

Bom, essa questão pede pra gente diferenciar a função:

y = sec ⁡ θ tan ⁡ θ

Então a ideia aqui é observar quais as características da função para saber qual a regra de derivação mais adequada.

Perceba que essa função é formada por uma multiplicação de duas outras funções. Podemos pensar que

y = f θ ⋅ g θ

Onde:

f θ = sec ⁡ θ

e

g θ = tan ⁡ θ

Pra funções desse tipo, podemos usar a regra do produto! Vou coloca-la aqui para não esquecermos!

( f g ) ' = f ' g + f g '

Show, vamos nessa!!!

Passo 2

Pra gente usar a regra do produto precisaremos das funções f , g e de suas derivadas.

Então vamos derivar cada uma delas.

Sendo:

f θ = sec ⁡ θ

Esse é uma função trigonométrica e sua derivada é tabelada. Sendo assim, basta lembrar que:

f ' θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ

E, ou trigonométrica é:

g θ = tan ⁡ θ

Assim:

g ' = sec 2 ⁡ θ

Boa, agora que já temos tudo que precisávamos.

Passo 3

Substituindo na expressão da derivada, temos:

y = f θ ⋅ g θ

Onde:

y ' = f ' g + f g '

Então:

y ' = sec ⁡ θ tan ⁡ θ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ

Organizando um pouco melhor, ficamos com:

y ' = sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ + sec 3 ⁡ θ

E assim, chegamos a nossa resposta!!!

Resposta

y ' = sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ + sec 3 ⁡ θ

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Encontre y^' e y^(' ') :y = sqrt(x) ln ( x )
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Nos exercícios de 5 a 42 calcular a derivada.15. f (t) = e^(- (t)/(2)) (t^2 + 5 t)