Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 22
Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas direcionais, vamos lá!
A questão nos da uma função e pede para encontrarmos o valor máximo de sua derivada direcional no ponto !
Ok, e como encontramos isso?
A derivada direcional de num ponto em uma direção unitária qualquer é dada por
Onde é o gradiente da função ! Relembrando: O gradiente é o conjunto das derivadas parciais, nesse caso e .
Mas e para encontrar o valor máximo e sua direção?
O valor máximo é simplesmente o módulo de e ele ocorre na mesma direção de !
Dessa forma, calculando o gradiente nós já temos a resposta quase completa!
Passo 2
Buscamos
Dessa forma, para encontrar nós derivamos em considerando constante
Que pode ser resolvido usando a regra da cadeia!
De forma que
Da mesma forma, agora vamos encontrar
Que pode ser resolvido usando a regra do produto!
De forma que
Passo 3
Temos o gradiente
Ou ainda, em função dos vetores unitários
Substituindo o ponto
Que é a direção em que a taxa de variação ocorre! Além disso, tirando o módulo para encontrar o valor máximo, temos