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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 13

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v .

g s ,   t = s t ,   2 ,   4 ,   v = 2 i - j

Passo 1

Fala ai galerinha! Tudo de boa? Partiu resolver uma questãozinha, se liga!

O objetivo da questão é determinar a derivada direcional da função g s ,   t = s t ​ no ponto ( 2,4 ) , na direção do vetor v = 2 i - j . A derivada direcional nos fornece a taxa de variação da função g em uma direção específica no espaço ( s , t ) , partindo de um ponto dado ( 2 , 4 ) .

Como fazer isso?

  1. Calcular o gradiente de g , que consiste das derivadas parciais de g em relação a s e t .
  2. Avaliar no ponto específico; Substituir as coordenadas s , t = ( 2,4 ) na expressão do gradiente para obter ∇ g ( 2,4 ) .
  3. Calcular o produto escalar utilizando o produto escalar entre v e ∇ g ( 2,4 ) , encontramos a derivada direcional desejada.

Vamos revolver. Mãos a obra!

Passo 2

Então galera, para determinarmos a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v , segundo o Stewart na seção 14.6 precisamos fazer:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Que é o gradiente de f . Em seguida:

D u f = ∇ f . u

No qual u é o vetor unitário na direção de v . No nosso caso as variáveis são um pouco diferentes, mas o raciocínio é literalmente o mesmo, tudo bem? No nosso caso, temos:

∇ g = ∂ g ∂ s i + ∂ g ∂ t j

Passo 3

Descobrindo nosso gradiente:

∇ g = t i + s 2 t j

Substituindo a equação no ponto ( 2,4 )

∇ g 2 ,   4 = 2 i + 1 2 j

Descobrindo u através do produto escalar. Lembrando que o unuciado nos diz que v = 2 i - j .

u = v v = 2 i - j 2 2 + ( - 1 ) ² = 1 5 ( 2 i - j )

Sendo assim, nossa derivada direcional será:

D u g 2 ,   4 = ∇ g 2 ,   4 . u

D u g 2 ,   4 = 2 i + 1 2 . 1 5 2 i - j = 1 5 4 - 1 2

∴ D u g 2 ,   4 = 7 2 5

Resposta

D u g 2 ,   4 = 7 2 5

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