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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 41a

Calcular (del f)/(del v) (x_0 , y_0) na direção vec v = 2 vec i - vec j :

f (x , y) = 3 x^2 - 2 y^2 ; (x_0 , y_0) = (1,2)

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor vec v vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

(del f)/(del v) (x_0 , y_0) = grad f (x_0 , y_0) * (v)/(||v||)

Então vamos começar encontrando o gradiente de f !

Passo 2

Para acharmos o gradiente, vamos fazer o seguinte:

grad f (x , y) = (del f)/(del x) vec i + (del f)/(del y) vec j

Substituindo:

grad f (x , y) = (del (3 x^2 - 2 y^2))/(del x) vec i + (del (3 x^2 - 2 y^2))/(del y) vec j

Derivando parcialmente:

grad f (x , y) = 2 xx 3 x vec i + 2 xx (- 2 y) vec j

Logo,

grad f (x , y) = 6 x vec i - 4 y vec j

Então no ponto (1,2) , temos:

grad f (1,2) = 6 vec i - 8 vec j

Reescrevendo:

grad f (1,2) = (6 , - 8)

Passo 3

Voltando para formula do Passo 1, temos:

(del f)/(del v) (1,2) = grad f (1,2) * ((2 , - 1))/(||(2 , - 1)||)

Substituindo com o que achamos no passo anterior:

(del f)/(del v) (1,2) = (6 , - 8) * ((2 , - 1))/(||(2 , - 1)||)

Como ||(2 , - 1)|| = sqrt(1^2 + 2^2) :

(del f)/(del v) (1,2) = ((6 , - 8) * (2 , - 1))/(sqrt(2^2 + (- 1)^2))

Fazendo o produto escalar:

(del f)/(del v) (1,2) = (12 + 8)/(sqrt(5))

Isto é,

(del f)/(del v) (1,2) = (2 0)/(sqrt(5))

Racionalizando, temos:

(del f)/(del v) (1,2) = (20)/(sqrt(5)) xx (sqrt(5))/(sqrt(5))

Portanto,

(del f)/(del v) (1,2) = 4 sqrt(5)

Resposta

(del f)/(del v) (1,2) = 4 sqrt(5)

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