Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 62
Uma plataforma retangular é representada no plano por:
A temperatura nos pontos da plataforma é dada por . Suponha que duas particular e estejam localizadas nos pontos e , respectivamente.
a) Se a partícula se deslocar na direção em que se esquentará mais rapidamente e a partícula se deslocar na direção em que resfriará mais rapidamente, elas se encontrarão?
b) Obter uma equação para a trajetória da partícula , representando-a sob a plataforma.
Passo 1
Nessa questão ele fala sobre a direção em que a temperatura esquenta e diminui o mais rápido possível. Se ele está falando em direção de máximo crescimento (e também máximo crescimento pra diminuir, no caso do resfriamento, só pode estar falando em uma coisa: derivada direcional! A direção de máximo crescimento da temperatura é aquela em que a derivada tem o maior módulo, sacou? Pra calcular a derivada direcional do campo, a primeira coisa que vamos ter que fazer é calcular o gradiente desse campo. Bom, isso a gente sabe fazer, né? Se a nossa função for , o gradiente vai ser dado por:
Aqui a gente não tem , mas tem o , que também é uma função, igualzinho ao hahah Pra facilitar, vamos até dizer que e resolver com essa letra.
Outra coisa, galera: geometricamente, a direção de esquentar e de esfriar mais rapidamente é a mesma, só muda o sentido que ele está andando!
Passo 2
Bora lá! A função é:
Calculando as derivadas parciais:
Assim,
Passo 3
Bom, esse é o gradiente da função:
E esse gradiente é uma função , cujas componentes são as derivadas da trajetória dele em e :
Isso dá um sistema!
Resolvendo,
A partícula estava inicialmente em , e está em , ou seja, em .
Para :
Portanto, a trajetória é dada por:
Com isso encontramos a resposta da letra (b)!
Para :
Portanto, a trajetória é dada por:
E é claro que só serve pra , porque não dá pro tempo voltar pra trás, né? Além disso, pra ele não sair da placa. O máximo da placa é , e o máximo é .
Assim, para :
Por isso, o nosso intervalo mais reduzido é:
Para :
Por isso, o nosso intervalo mais reduzido é:
Passo 4
Pra saber se eles se encontram, a gente vai analisar a trajetória de cada um deles. Vamos relacionar as coordenadas das trajetórias como se fossem um e um .
Para :
Aqui, repara que podemos escrever:
Ou seja, é algo do tipo:
E para :
Aqui, repara que podemos escrever:
Ou seja, é algo do tipo:
Ih, é a mesma trajetória, igualzinha! Por isso, eles só podem se encontrar!
Resposta
a) Sim, se encontram.
b)