A densidade de uma distribuição de massa varia em relação a uma origem dada segundo a fórmula

ρ = 4 x 2 + y 2 + 2

Encontrar a razão de variação da densidade no ponto ( 1 ,   2 ) na direção que forma ângulo de 45 ° , no sentido anti-horário, com o eixo positivo dos x . Em que direção a razão de variação é máxima?

Passo 1

Vamos começar pensando em que direção é essa. Bom, esse ângulo de 45 ° divide o quadrante em duas partes iguais, já que o quadrante tem 90 ° . Por isso, ele é bissetriz do primeiro quadrante, já que divide em dois. A reta que divide esse quadrante em dois é a reta y = x , certo? Bom, a reta que queremos não é exatamente a y = x , mas é a que tem a mesma direção! Por isso, a direção que queremos é a de ( 1 ,   1 ) . Mas no geral, quando a gente vai tratar de direção, a gente pega a direção unitária, para não mexer no módulo da variação, saca? Por isso, vamos dividir pelo seu módulo, que é 1 2 + 1 2 = 2 . A nossa direção, por fim, vai ser u → = 1 2 , 1 2 .

Passo 2

O que a gente tá buscando aqui é a derivada direcional dessa densidade, já que fala de razão de variação da densidade. Ainda mais, ele fala da direção em que a variação é máxima: isso se dá no gradiente da função! Então vamos começar calculando o gradiente! Se a nossa função for f → , o gradiente vai ser dado por:

g r a d   f → = ∇ f → = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Aqui a gente não tem f , mas tem o ρ ( x , y ) , que também é uma função, igualzinho ao f . O gradiente dela vai ser:

g r a d   ρ = ∂ ρ ∂ x i → + ∂ ρ ∂ y j → = ∂ ρ ∂ x ,   ∂ ρ ∂ y

ρ = 4 x 2 + y 2 + 2 = 4 x 2 + y 2 + 2 - 1 2

Calculando as derivadas parciais:

∂ ρ ∂ x = - 4 x x 2 + y 2 + 2 3 2

∂ ρ ∂ y = - 4 y x 2 + y 2 + 2 3 2

Por isso, o gradiente é:

g r a d   ρ = ∇ ρ = - 4 x x 2 + y 2 + 2 3 2 , - 4 y x 2 + y 2 + 2 3 2

Nesse ponto ( 1 ,   2 ) :

∇ ρ =   - 4 1 2 + 2 2 + 2 3 2 ,   - 4 × 2 1 2 + 2 2 + 2 3 2

∇ ρ = - 4 7 3 2 ,   - 8 7 3 2

Essa é a direção em que a variação é máxima!

Passo 3

A variação na direção que estávamos falando no passo 1 é o produto escalar do gradiente com a direção.

Δ = ∇ ρ ⋅ u →

Δ = - 4 7 3 2 ,   - 8 7 3 2 ⋅ 1 2 , 1 2

Assim,

Δ = - 4 7 3 2 2 - 8 7 3 2 2

Δ = - 12 7 3 2 2

Racionalizando, chegamos em:

Δ = - 6 14 49

Resposta

Δ = - 6 14 49 ;   ∇ ρ = - 4 7 3 2 ,   - 8 7 3 2

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