Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 64
A densidade de uma distribuição de massa varia em relação a uma origem dada segundo a fórmula
Encontrar a razão de variação da densidade no ponto na direção que forma ângulo de , no sentido anti-horário, com o eixo positivo dos . Em que direção a razão de variação é máxima?
Passo 1
Vamos começar pensando em que direção é essa. Bom, esse ângulo de divide o quadrante em duas partes iguais, já que o quadrante tem . Por isso, ele é bissetriz do primeiro quadrante, já que divide em dois. A reta que divide esse quadrante em dois é a reta , certo? Bom, a reta que queremos não é exatamente a , mas é a que tem a mesma direção! Por isso, a direção que queremos é a de . Mas no geral, quando a gente vai tratar de direção, a gente pega a direção unitária, para não mexer no módulo da variação, saca? Por isso, vamos dividir pelo seu módulo, que é . A nossa direção, por fim, vai ser .
Passo 2
O que a gente tá buscando aqui é a derivada direcional dessa densidade, já que fala de razão de variação da densidade. Ainda mais, ele fala da direção em que a variação é máxima: isso se dá no gradiente da função! Então vamos começar calculando o gradiente! Se a nossa função for , o gradiente vai ser dado por:
Aqui a gente não tem , mas tem o , que também é uma função, igualzinho ao . O gradiente dela vai ser:
Calculando as derivadas parciais:
Por isso, o gradiente é:
Nesse ponto :
Essa é a direção em que a variação é máxima!
Passo 3
A variação na direção que estávamos falando no passo é o produto escalar do gradiente com a direção.
Assim,
Racionalizando, chegamos em: