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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 42a

Calcular as derivadas direcionais das seguintes funções nos pontos e direções indicados:

a) f x , y = e - x cos ⁡ y em ( 0,0 ) na direção que forma um ângulo de 45 ° com o eixo positivo dos x , no sentido anti-horário.

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ f ∂ v x 0 ,   y 0 = ∇ f x 0 , y 0 ⋅ v v

Mas ele não nos disse diretamente quem é esse vetor, então vamos começar descobrindo-o. Como ele forma um ângulo de 45 ° com o eixo positivo dos x , no sentido anti-horário, podemos escreve-lo da seguinte forma:

v → = cos ⁡ 45 ° ,   s e n 45 °

Logo,

v → = 2 2 ,   2 2

Passo 2

Agora vamos encontrar o gradiente de f . Para isso, vamos fazer o seguinte:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Substituindo:

∇ f x , y = ∂ e - x cos ⁡ y ∂ x i → + ∂ e - x cos ⁡ y ∂ y j →

Derivando parcialmente:

∇ f x , y = - e x cos ⁡ y i → + e - x - s e n y j →

Logo,

∇ f x , y = - e x cos ⁡ y i → - e - x s e n y j →

Então no ponto 0,0 , temos:

∇ f 0,0 = - e 0 cos ⁡ 0 i → - e 0 s e n 0 j →

Fazendo as contas:

∇ f 0,0 = - 1   i → + 0   j →

Reescrevendo,

∇ f 0,0 = - 1 , 0

Passo 3

Voltando para formula do Passo 1, temos:

∂ f ∂ v 0 , 0 = ∇ f 0 , 0 ⋅ 2 2 ,   2 2 2 2 ,   2 2

Substituindo com o que achamos no passo anterior:

∂ f ∂ v 0 , 0 = - 1,0 ⋅ 2 2 ,   2 2 2 2 ,   2 2

Como 2 2 ,   2 2 = 2 2 2 + 2 2 2 :

∂ f ∂ v 0 , 0 = - 1,0 ⋅ 2 2 ,   2 2 2 2 2 + 2 2 2

Fazendo o produto escalar:

∂ f ∂ v 0,0 = - 1 × 2 2 + 0 × 2 2 1

Portanto,

∂ f ∂ v 0,0 = - 2 2

Resposta

∂ f ∂ v 0,0 = - 2 2

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