Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

f x , y = 4 y x ,                     4 ,   1

Passo 1

Oie, vou e ajudar a resolver essa atividade.

Dada a função:

f x , y = 4 y x

O problema pede para acharmos a derivada direcional máxima de f no ponto dado.

Para isso você deve lembrar que a direção em que a derivada direcional é máxima é a direção do vetor gradiente.

Assim, seu valor máximo será a norma do gradiente!

Então precisaremos encontrar o nosso gradiente:

∇ f = f x , f y

Passo 2

Tomando o gradiente de f :

∇ f = f x ,   f y

Então vamos encontrar as derivadas parciais:

f x , y = 4 y x

f x = 4 y x

f y = 4 x

Então nosso gradiente é:

∇ f x , y = 2 y x ,   4 x

Usando x ,   y = ( 4 ,   1 ) :

∇ f 4 ,   1 = 1 ,   8

A direção em que a derivada direcional é máxima é a direção do gradiente:

∇ f 4,1 = 1 2 + 8 2

∇ f 4,1 = 65

Resposta

D u f 4 ,   1 = 65

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