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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 21

Determine a taxa de variação máxima f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

f ( x ,   y ) = 4 y x ,   ( 4 ,   1 )

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas direcionais, vamos lá!

A questão nos da uma função f ( x ,   y ) = 4 y x e pede para encontrarmos o valor máximo de sua derivada direcional no ponto ( 4 ,   1 ) !

Ok, e como encontramos isso?

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) em uma direção u → unitária qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Onde ∇ f é o gradiente da função f ! Relembrando: O gradiente é o conjunto das derivadas parciais, nesse caso f x e f y .

Mas e para encontrar o valor máximo e sua direção?

O valor máximo é simplesmente o módulo de ∇ f e ele ocorre na mesma direção de ∇ f !

Dessa forma, calculando o gradiente ∇ f nós já temos a resposta quase completa!

Passo 2

Buscamos

∇ f a ,   b = ( f x ,   f y )

Dessa forma, para encontrar f x nós derivamos f em x considerando y constante

∂ f ∂ x = 4 y ∂ x ∂ x

∂ f ∂ x = 4 y 1 2 x

∂ f ∂ x = 2 y x

Analogamente, encontramos f y

∂ f ∂ y = 4 x ∂ y ∂ x

∂ f ∂ y = 4 x

Passo 3

Temos o gradiente

∇ f = 2 y / x ,   4 x

Ou ainda, em função dos vetores unitários

∇ f = 2 y / x i + 4 x j

Substituindo o ponto

∇ f 4 ,   1 = 2 ⋅ 1 / 4 i + 4 4 j

∇ f 4 ,   1 = i + 8 j

Que é a direção em que a taxa de variação ocorre! Além disso, tirando o módulo para encontrar o valor máximo, temos

∇ f 4 ,   1 = 1 2 + 8 ²

∇ f 4 ,   1 = 65

Resposta

∇ f 4 ,   1 = i + 8 j

∇ f 4 ,   1 = 65

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