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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 23

Determine a taxa de variação máxima f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

f x ,   y = s e n   x y ,   ( 1 ,   0 )

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas direcionais, vamos lá!

A questão nos da uma função f x ,   y = s e n   x y e pede para encontrarmos o valor máximo de sua derivada direcional no ponto ( 1 ,   0 ) !

Ok, e como encontramos isso?

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) em uma direção u → unitária qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Onde ∇ f é o gradiente da função f ! Relembrando: O gradiente é o conjunto das derivadas parciais, nesse caso f x e f y .

Mas e para encontrar o valor máximo e sua direção?

O valor máximo é simplesmente o módulo de ∇ f e ele ocorre na mesma direção de ∇ f !

Dessa forma, calculando o gradiente ∇ f nós já temos a resposta quase completa!

Passo 2

Buscamos

∇ f a ,   b = ( f x ,   f y )

Dessa forma, para encontrar f x nós derivamos f em x considerando y constante

∂ f ∂ x = ∂ s e n   x y ∂ x

Que pode ser resolvido usando a regra da cadeia!

Lembrando do formato da regra da cadeia:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u ⋅ d g x d x

De forma que, para o nosso caso

∂ f ∂ x = d s e n ( u ) d u ⋅ y d x d x

∂ f ∂ x = cos ⁡ x y ⋅ y

Analogamente, encontramos f y

∂ f ∂ y = ∂ s e n   x y ∂ y

∂ f ∂ y = cos ⁡ x y ⋅ x

Passo 3

Temos o gradiente

∇ f = y ⋅ cos ⁡ x y ,   x ⋅ c o s ( x y )

Ou ainda, em função dos vetores unitários

∇ f = y ⋅ cos ⁡ x y i +   x ⋅ c o s ( x y ) j

Substituindo o ponto

∇ f 1 ,   0 = 0 ⋅ cos ⁡ 1 ⋅ 0 i +   1 ⋅ c o s ( 1 ⋅ 0 ) j

∇ f 1 ,   0 = 0 i + j

Que é a direção em que a taxa de variação ocorre! Além disso, tirando o módulo para encontrar o valor máximo, temos

∇ f 1 ,   0 = 0 2 + 1 ²

∇ f 1 ,   0 = 1

Resposta

∇ f 1 ,   0 = 0 i + j

∇ f 1 ,   0 = 1

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