Determine a taxa de variação máxima f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

f(x, y) = sen(xy), (1, 0)

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas direcionais, vamos lá!

A questão nos da uma função f x ,   y = s e n   x y e pede para encontrarmos o valor máximo de sua derivada direcional no ponto ( 1 ,   0 ) !

Ok, e como encontramos isso?

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) em uma direção u → unitária qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Onde ∇ f é o gradiente da função f ! Relembrando: O gradiente é o conjunto das derivadas parciais, nesse caso f x e f y .

Mas e para encontrar o valor máximo e sua direção?

O valor máximo é simplesmente o módulo de ∇ f e ele ocorre na mesma direção de ∇ f !

Dessa forma, calculando o gradiente ∇ f nós já temos a resposta quase completa!

Passo 2

Buscamos

∇ f a ,   b = ( f x ,   f y )

Dessa forma, para encontrar f x nós derivamos f em x considerando y constante

∂ f ∂ x = ∂ s e n   x y ∂ x

Que pode ser resolvido usando a regra da cadeia!

Lembrando do formato da regra da cadeia:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u ⋅ d g x d x

De forma que, para o nosso caso

∂ f ∂ x = d s e n ( u ) d u ⋅ y d x d x

∂ f ∂ x = cos ⁡ x y ⋅ y

Analogamente, encontramos f y

∂ f ∂ y = ∂ s e n   x y ∂ y

∂ f ∂ y = cos ⁡ x y ⋅ x

Passo 3

Temos o gradiente

∇ f = y ⋅ cos ⁡ x y ,   x ⋅ c o s ( x y )

Ou ainda, em função dos vetores unitários

∇ f = y ⋅ cos ⁡ x y i +   x ⋅ c o s ( x y ) j

Substituindo o ponto

∇ f 1 ,   0 = 0 ⋅ cos ⁡ 1 ⋅ 0 i +   1 ⋅ c o s ( 1 ⋅ 0 ) j

∇ f 1 ,   0 = 0 i + j

Que é a direção em que a taxa de variação ocorre! Além disso, tirando o módulo para encontrar o valor máximo, temos

∇ f 1 ,   0 = 0 2 + 1 ²

∇ f 1 ,   0 = 1

Resposta

∇ f 1 ,   0 = 0 i + j

∇ f 1 ,   0 = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um potencial elétrico é dado por V = 10 x 2 + y 2 + z 2 . Determinar o campo elétrico, representando-o graficamente.
Suponha que T(x, y) = 4 - 2*x^2 - 2*y^2 represente uma distribuição de temperatura no plano (x, y) . Determinar uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir de
Encontrar o vetor intensidade elétrica E → = - g r a dV a partir da função potencial V , no ponto indicado. V = e y cos ⁡ x ; P π 2 ,0 ,0
Nos exercícios 55 a 58 , encontrar o valor máximo da derivada direcional do campo escalar dado, nos pontos indicados:f(x, y) = x * y^2 - (y - x)^2; P_0(1, 1)
A figura 6.24 mostra uma plataforma retangular cuja temperatura em cada ponto é dada por T(x, y) = 2x + y . Um indivíduo encontra-se no ponto P₀ dessa plataforma e necessita esquentar-se o mais rápido