Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 26
Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma função e um vetor, e nos pediu para determinar a taxa de variação máxima dessa função e sua direção. Como nós podemos fazer isso?
Bom, para achar a taxa variação máxima basta calcular o módulo do vetor gradiente.
Assim, primeiramente nós calculamos as derivadas parciais das coordenadas, com isso podemos montar a regra geral do vetor gradiente.
Depois, substituímos as coordenadas pelos valores dos pontos dados.
E por ultimo iremos calcular o modulo do gradiente:
Vamos lá!
Passo 2
Tomando o gradiente de :
Aqui a gente precisa aplicar a regra da cadeia para derivar cada um, e lembre-se da derivada de
Temos então que:
Agora vamos para
E por ultimo:
Temos que nosso gradiente é:
Usando :
Vamos calcular o modulo do gradiente:
Então a maior taxa de variação é essa:
Passo 3
A direção em que a derivada direcional é máxima é a direção do gradiente: