Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.9 - Ex. 23
21-31 Encontre a derivada da função dada usando a definição. Estabeleça os domínios da função e da derivada.
Passo 1
Beleza meu parceiro? Pronto para mais uma resolução?
Então, aqui nos é dada uma função:
E nos é pedido para encontrarmos a sua derivada utilizando a definição de derivada. Para isso iremos utilizar a equação:
Devemos então resolver esse limite para encontrarmos a derivada.
Em relação ao domínio da função e da sua derivada, o domínio é o conjunto de valores de que nossa função aceita. Iremos analisar as funções e descobrir quais valores são esses a partir de possíveis restrições da nossa função. Algumas restrições são, não poder ter zero no denominador, não poder ter números negativos dentro de raízes pares, etc.
Passo 2
Colocarei aqui a equação para calcular a derivada de .
Vamos anotar aqui os valores que estão na expressão da derivada!
Realizando o produto notável:
Agora realizando a distributiva no último termo:
Substituindo tudo dentro da derivada, temos:
Realizando o jogo de sinais do último termo:
Realizando as simplificações dos termos semelhantes:
Botando o em evidência, temos:
Cortando de cima com de baixo, temos:
Passo 3
Em relação ao domínio, tanto em quanto em não temos restrições alguma, sendo assim, ambos têm como o domínio o conjunto dos números reais.