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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 33

Encontre (d y)/(d x) |_x = 1 , sabendo que y = 1 - x^2 .

Passo 1

Primeiros vamos usar a Definição 2.2 . 1 para encontrar a derivada:

(d y)/(d x) = f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h)

Passo 2

Vamos então aplicar:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (1 - (x + h)^2 - (1 - x^2))/(h)

Agora vamos manipular o limite:

underset(h -> 0)(lim) (1 - (x + h)^2 - (1 - x^2))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (1 - (x^2 + 2 x h + h^2) - 1 + x^2)/(h) =

= underset(h -> 0)(lim) (- x^2 - 2 x h - h^2 + x^2)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (- 2 x h - h^2)/(h)

E por último vamos cancelar o termo h do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

underset(h -> 0)(lim) (- 2 x h - h^2)/(h) = underset(h -> 0)(lim) - 2 x - h = - 2 x

Passo 3

Por último vamos aplicar o valor x = 1 :

f^' (1) = - 2 * 1 = - 2

Pronto, temos que (d y)/(d x) |_x = 1 = - 2 .

Resposta

(d y)/(d x) |_x = 1 = - 2

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