Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.8 - Ex. 22
22. Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.
Passo 1
Faala ae, eu sou o Rafha do Responde Aí e vou te ajudar nessa questão!
Nossa equação é a seguinte:
E queremos encontrar a sua raiz, isso é, o valor de para o qual:
De forma que nossa função a qual queremos encontrar a raíz é portanto:
E queremos encontrar todas as suas raízes.
Para isso vamos usar um método iterativo que é o método de Newton.
Basicamente, nós começamos com um chute inicial para essa raiz.
E para encontrar o próximo valor, faremos a seguinte iteração:
O enunciado pede para encontrarmos com uma precisão de seis casas decimais, dessa forma, teremos que ir realizando iterações até que o valor encontrado não se altere até a sexta casa decimal.Dá trabalho? Dá... mas a vida é uma sopa e você tá de garfo :0
Passo 2
No nosso método iterativo, temos que:
Dessa forma, precisamos da derivada de
Que pode ser reescrita para facilitar a derivação:
Derivando, teremos:
(Não esquece a regra da cadeia ali na derivada hein!)
Passo 3
Arrumando as coisas, temos:
Agora devemos encontrar um bom valor para usar de chute inicial .
Para isso, podemos usar a seguinte estratégia. Queremos que:
Isso é o mesmo que:
O gráfico da tangente é conhecido.
O gráfico de nada mais é que o gráfico da porção superior de um círculo de raio .
Logo, a porção positiva de um círculo centrado na origem com raio é:
Dessa forma, vamos esboçar ambos os gráficos e verificar em quais pontos eles se encontram, ou seja, em quais pontos .
Esses são também pontos onde , que é o que queremos.
A função só é definida para , logo só iremos considerar aqui valores de que sejam
Olhando no gráfico, vemos que as curvas se interceptam em próximo de .
Dessa forma, esse será o nosso chute inicial.
Passo 4
Vamos usar que :
Fazendo as contas:
Para achar os próximos o processo é análogo.
Logo,
Para :
Para :
Para :
Opa, como deu igual já podemos parar. Pois nos aproximamos o suficiente da raiz. Logo, a raiz aproximada de seis casas decimais será .
Resposta
A raiz aproximada de seis casas decimais será