Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 3
2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência
Passo 1
Antes de testarmos se a série converge ou diverge, temos que escrever uma expressão pra sequência que nos foi dada, certo? Podemos notar algumas coisas se olharmos pra essa sequência: a primeira é que há alternância entre os sinais, a segunda é que o numerador é composto apenas por números pares e a terceira é que o denominador aumenta de começa em e aumenta de um em um. Escrevendo uma série, teremos:
Tudo bem, uma vez que isso foi estabelecido, agora devemos utilizar o teste da série alternada, isto é, provar que a série de formato genérico abaixo satisfaz duas condições:
1. ;
2.
Se for satisfeito, então a série converge. Caso contrário, diverge. Então bora lá!
Passo 2
Testando a primeira condição, ou seja, de que a sequência é decrescente:
Pela derivada podemos notar que a sequência não é decrescente, uma vez que ela sempre será positiva por conta do termo quadrático no denominador. Dessa forma, podemos concluir que a série que nos foi dada é divergente.