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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 11

Calcule a integral tripla.

∫ ∫ ∫ E z x 2 + z 2   d V

E = x , y , z 1 ≤ y ≤ 4 ,   0 ≤ x ≤ z ,   y ≤ z ≤ 4 }  

Passo 1

Vamos lá galerinha, uma situação em que temos que calcular uma integral tripla interada começando da mais interna para a mais externa:

∫ ∫ ∫ E z x 2 + z 2   d V

Temos pelo exercício que a região é:

E = x , y , z 1 ≤ y ≤ 4 ,   0 ≤ x ≤ z ,   y ≤ z ≤ 4 }  

Juntando essas informações, poderemos escrever a integral com os intervalos definidos, e dessa forma realizar o cálculo.

Passo 2

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

∫ ∫ ∫ E z x 2 + z 2   d V

Sob a região:

E = x , y , z 1 ≤ y ≤ 4 ,   0 ≤ x ≤ z ,   y ≤ z ≤ 4 }

Uma dica é deixar a variável em que os limites de integração são só número (e não outras funções) mais externa, então vamos ficar com:

∫ 1 4 ∫ y 4 ∫ 0 z z x 2 + z 2 d x d z d y

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por x :

Fazendo por substituição:

u = x z ;       x = z u ;       d x = z d u  

De forma que temos:

∫ 0 z z x 2 + z 2 d x = z 2 ∫ z z 2 u 2 + z 2 d x

Simplificando:

z 2 ∫ 1 z u 2 + 1 d u

Que é uma integral primordial (que possui na tabela de integrais). Sendo assim temos:

z 2 ∫ 1 z u 2 + 1 d u = z arctan ⁡ u

Substituindo o u

z arctan ⁡ x z 0 z =   z arctan ⁡ 1 -   z arctan ⁡ 0 = z π 4

Passo 3

Integrando em relação a z

∫ 1 4 ∫ y 4 z π 4 d z d y = ∫ 1 4 z 2 2 π 4 y 4 d y  

Aplicando os limites de integração e simplificando:

2 π - y 2 2 π 4

Realizando a última integral em função de d y

∫ 1 4 2 π - y 2 2 π 4 d y = 2 π y - y 3 24 π 1 4

Aplicando os limites teremos:

8 π - 64 24 π - 2 π - 1 24 π = 8 π - 64 24 π - 2 π +   1 24 π

6 π - 63 24 π  

Resposta

∫ ∫ ∫ E z x 2 + z 2   d V = 6 π - 63 24 π  

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