Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.5 - Ex. 26

Mostre que a série é convergente. Quantos termos da série precisamos

somar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada?

Passo 1

Essa questão pede duas coisas: A primeira delas é determinar se a série converge ou diverge. Bom..., podemos perceber que essa série é do tipo alternada, pois possui um elemento . Em razão disso, utilizaremos o teste da série alternada.Além disso, iremos calcular os termos parciais até encontrarmos um termo menos que o erro indicado. Após isso, é só somar cada termo até até o o penúltimo termo encontrado. Exemplo, se o primeiro termo menor que a precisão indicada for o sexto termo. Só precisamos somar até o quinto termo.Agora que ficou tudo muito mais claro. Vamos colocar a mão na massa !?

Passo 2

O teste da série alternada diz que uma série converge se satisfazer duas condições:

. Sendo o valor absoluto de cada termo da série. Ou seja, a série for decrescente.

Vamos identificar se a série é decrescente. Repare que se estamos considerando apenas os valores absolutos dos termos teremos . Uma estratégia para identificar se a série é decrescente é calcular o valor de cada termo e plotar um gráfico. Mas há uma outra forma mais simples. Lembre-se que pela derivada podemos encontrar se uma função é crescente ou decrescente.

Então criaremos uma função associada a , que será:

Calculando temos:

Lembrando a regra do quociente:

Sendo assim temos:

Podemos perceber que para , .

E para , .

Ou seja, a função é decrescente para o intervalo

Passo 3

Agora precisamos encontrar o limite de , se for igual a zero, poderemos dizer que a série converge.

Aplicando L'Hôpital:

Temos o caso bastante comum do denominador indo ao infinito enquanto o numerador permanece constante. Logo podemos afirmar que:

E portanto a série converge.

Passo 4

Vamos então calcular a soma que tem o . Precisamos encontrar qual termo é menor que o erro dado, para sabermos até qual termo somar.

Escrevendo alguns termos da serie:

Repare que em alcançamos . Ou seja, o termo possui um valor absoluto menor que o erro procurado. Isso significa que realizar as somas até o sexto termo é o suficiente para uma estimativa adequada.