Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.5 - Ex. 30

Aproxime a soma da série com a precisão de quatro casas decimais:

Passo 1

Para sabermos ao certo que temos a precisão solicitada. Devemos utilizar o teorema da estimativa de séries alternadas. Para isso precisamos ter certeza que a série cumpre os requisitos de aplicação do teorema. Então nosso procedimento será: primeiro testar esses requisitos. Após isso, aplicar o teorema para identifica até qual termo é necessário somar para alcançar a precisão indicada.Vamos do início?

Passo 2

Vamos nos recordar em que situações podemos aplicar o teorema da estimativa de séries alternadas?

O teste da série alternada diz que uma série converge se satisfazer duas condições:

. Sendo o valor absoluto de cada termo da série. Ou seja, a série for decrescente.

Então primeiro vamos identificar se a série é decrescente. Escrevendo alguns de seus termos:

Repare que o valor absoluto de cada termo é menor que termo anterior. Ou seja, a primeira condição confere.

Devemos agora calcular o limite de sendo que é a série sem considerar o elemento que a faz alterar os sinais entre positivo e negativo. Logo temos:

Calculando o limite temos:

Temos um denominador indo ao infinito enquanto o numerador permanece constante, de modo que o limite é zero.

Ambas as condições são adequadas, então podemos aplicar o teorema da estimativa da soma.

Passo 3

O teorema das estimativas da soma diz que o erro da soma de um número de elementos é menor que o valor absoluto do termo da soma parcial . Ou seja, o erro será menor que o valor do primeiro termo negligenciado. De modo que uma soma até os seis primeiros termos, terá um erro de valor absoluto menor que valor do sétimo termo.

Então precisamos encontrar o primeiro termo, que somado ao anterior não afeta a quarta casa decimal.

Além disso, temos que estar atentos com as regras de arredondamento. Pois se uma soma altera a quinta casa de cima de para , haverá alteração da quarta casa decimal por arredondamento.

Vamos calcular os termos das séries?

Repare que somando os termos teremos:

Perceba que a alteração da quinta casa decimal de para afeta o valor da quarta casa decimal.

Continuando as somas:

Perceba que essa etapa da soma não altera a quarta casa decimal. Logo podemos parar por aqui. O termo é o primeiro termo a ser negligenciado. Então precisamos somar apenas até o termo .