Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 32
Para quais valores de a série é convergente?
Passo 1
Vamos lá galerinha. Temos uma série qualquer e queremos saber para quais valores de essa série converge. Ora, vamos começar com as informações que temos dessa série.
Percebemos que ela é uma série alternada, pois há um elemento que funciona como “trocador” de sinal para cada.Veja:
Logo: faz bastante sentido pensarmos no teste de séries alternadas.
E o que diz esse tal de teste de séries alternadas?Veja que é bem tranquilo, só precisamos verificar se a série cumpre duas condições. Caso positivo, ela converge.
Então só precisamos “forçar” para valores que satisfazem essas condições. Tranquilo né?”
E quais são essas condições? Anota ai por que isso é bastante importante.
A seguinte série alternada:
Vai convergir se atender as seguintes condições:
- Se a série for decrescente:
E quem é esse tal de aqui na nossa função?
Nada mais é, que nossa série aplicada o módulo. Ou seja:
Agora que ficou claro o que temos que fazer. Vamos colocar a mão na massa?
Passo 2
Agora temos que testar as condições que fazem a série ser convergente.
Vamos identificar para quais valores a série é decrescente?
Repare que se for qualquer número positivo. A sequência é decrescente:
Veja o que acontece com
Porém, percebemos que se , não teremos uma série decrescente.
Veja
Veja o que acontece com .
Ou seja, por essa condição
Passo 3
Vamos testar a segunda condição? Será que o seguinte limite é zero?
Se , podemos perceber que o denominador avança em direção ao infinito mais rapidamente que o numerador, que vale sempre 1. Portanto:
Logo, como atende aos 2 critérios, podemos afirmar que paras a série converge.
Resposta
Portanto, pelo teste, a serie converge sempre que