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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 20

Seja y = f ( x ) uma curva lisa no intervalo fechado [ a , b ] . Prove que, se m e M são números não negativos, tais que m ≤ f ' x ≤ M para cada x em [ a , b ] , então o comprimento de arco L de y = f ( x ) acima do intervalo [ a , b ] satisfaz as desigualdades:

b - a 1 - m 2 ≤ L ≤ b - a 1 + M 2

Passo 1

E aí, tudo joia? Vamos lá, essa aqui é daquelas de demonstração.

Primeiro: o que a gente tem?

m ≥ 0   e   M ≥ 0

m ≤ f ' x ≤ M   e m   [ a , b ]

L   é   o   c o m p r i m e n t o   d o   a r c o   d e   f ( x )

E daí a gente tem que provar que:

b - a 1 - m 2 ≤ L ≤ b - a 1 + M 2

Vamos ver o que a gente consegue...

Passo 2

A gente sabe que:

0 ≤ m ≤ f ' x ≤ M

Então:

m 2 ≤ f ' x 2 ≤ M 2

1 + m 2 ≤ f ' x 2 + 1 ≤ M 2 + 1

E...

1 + m 2 ≤ 1 + f ' x 2 ≤ 1 + M 2

Tranquilo até aqui? Vamos seguir então...

Passo 3

Continuando com as desigualdades, temos:

∫ a b 1 + m 2   d x ≤ ∫ a b 1 + f ' x 2   d x ≤ ∫ a b 1 + M 2   d x

E aí como o comprimento da curva f ' ( x ) é dado por L =   ∫ a b 1 + f ' x 2   d x , podemos fazer:

b - a 1 + m 2 ≤ L ≤ b - a 1 + M 2

Que é exatamente o que queríamos chegar! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use um sistema de computação algébrica ou uma tabela de integrais para achar o comprimento de arco exato da curva y = x 4 / 3 que está entre os pontos ( 0,0 ) e ( 1,1 ) .
Escreva uma integral para o comprimento da curva. Use sua calculadora para encontrar o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais. x = y 2 - 2 y ,0 ≤ y ≤ 2
Encontre o comprimento exato da curva.y = sqrt(x - x^2) + s e n^(- 1) (sqrt(x))
Encontre o comprimento exato da curva.y = (1)/(4) x^2 - (1)/(2) ln x , 1 = x = 2
Encontre o comprimento exato da curva.y = ln ( 1 - x^2 ) , 0 ��� x ��� (1)/(2) ��� ���