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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 32

Use a fórmula do comprimento de arco do Exercício 26 para encontrar o comprimento de arco da curva.

x = e t s e n   t + cos ⁡ t ,       y = e t ( cos ⁡ t - s e n   t ) ,     ( 1 ≤ t ≤ 4 )

Passo 1

E aí, tudo joia?

A gente vai usar essa fórmula aqui ó:

∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

Então, a gente vai derivar cada uma em função de t . Bora lá!

Passo 2

A gente tem que:

d x d t =   e t s e n   t + cos ⁡ t + e t cos ⁡ t - s e n   t = e t s e n   t + cos ⁡ t + cos ⁡ t - s e n   t    

= e t 2 cos ⁡ t = 2   e t cos ⁡ t

d y d t = e t cos ⁡ t - s e n   t + e t - s e n   t - cos ⁡ t = e t cos ⁡ t - s e n   t - s e n   t - cos ⁡ t

= e t - 2 s e n   t =   - 2   e t s e n   t

Aí a gente joga na fórmula:

∫ 1 4 2 e t cos ⁡ t 2 + - 2 e t s e n   t 2   d t

Passo 3

Desenvolvendo, a gente tem que:

∫ 1 4 4 e 2 t cos 2 ⁡ t + 4 e 2 t s e n 2 t   d t

∫ 1 4 4 e 2 t cos 2 ⁡ t + s e n 2 t   d t

E pela identidade trigonométrica fundamental, a gente sabe que:

∫ 1 4 4 e 2 t   d t

∫ 1 4 2 e t   d t

2 e t 1 4

= 2 e 4 - 2 e

E prontinho! Achamos o comprimento da curva😉

Resposta

2 e 4 - 2 e

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