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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 34

Mostre que o comprimento de arco total da elipse x = a cos ⁡ t ,   y = b   s e n   t ,   0 ≤ t ≤ 2 π , com a > b > 0 , é dado por:

4 a ∫ 0 π / 2 1 - k 2 cos 2 ⁡ t d t

Onde k = a 2 - b 2 a .

Passo 1

Olá! Tudo tranquilo? Essa aqui tem um cadinho de letra né?! Mas vai dar certo, vamos lá...

A gente segue usando a fórmula do comprimento de arco parametrizado:

∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

Vamos começar derivando a nossa função então:

d x d t =   - a s e n   t

d y d t = b cos ⁡ t

Passo 2

Montando a fórmula:

∫ 0 2 π - a s e n   t 2 + b cos ⁡ t 2

∫ 0 2 π a 2 s e n 2 t + b 2 cos 2 ⁡ t   d t

Vamos agora substituir s e n 2 t = 1 - cos 2 ⁡ t :

∫ 0 2 π a 2 1 - cos 2 ⁡ t + b 2 cos 2 ⁡ t   d t

∫ 0 2 π a 2 - a 2 cos 2 ⁡ t + b 2 cos 2 ⁡ t   d t

∫ 0 2 π a 2 - cos 2 ⁡ t a 2 - b 2   d t

Agora a gente divide tudo por a 2 :

∫ 0 2 π 1 - cos 2 ⁡ t a 2 - b 2 a 2   d t

Passo 3

E aí agora vem a questão do k ...

A gente tem que:

k = a 2 - b 2 a

Então:

k 2 = a 2 - b 2 a 2

Show! Agora é só jogar isso lá dentro!

∫ 0 2 π 1 - cos 2 ⁡ t a 2 - b 2 a 2   d t = ∫ 0 2 π 1 - k 2 cos 2 ⁡ t   d t

E como 2 π = 4 ⋅ π 2 , a gente pode fazer:

4 ∫ 0 π 2 1 - k 2 cos 2 ⁡ t   d t

Uhuuull!! Provamos o que o enunciado pediu😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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