Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a_n = ln(2 * n^2 + 1) - ln(n^2 + 1)

Passo 1

E aê, galera! Tudo tranquilo? Vamos para mais uma questão:

Pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela. Nossa estratégia aqui será manipular esses dois termos da subtração para tentar juntar em um só e tornar a sequência mais simples, assim fica bem mais tranquilo para determinar o limite, beleza?

Vamos lá então:

Passo 2

Primeiros vamos usar algumas propriedades do l n para simplificar nossa sequência:

Como ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b , ficamos com:

ln ⁡ 2 n 2 + 1 - ln ⁡ ( n 2 + 1 ) = ln ⁡ 2 n 2 + 1 n 2 + 1

Agora, perceba que se dividirmos o numerador e o denominador por n 2 , que é a maior potência do denominador, eu simplifico muito essa fração porque elimino dois termos n 2 e análise fica muito mais fácil, dessa forma aqui:

ln ⁡ 2 n 2 + 1 n 2 + 1 = ln ⁡ 2 + 1 n 2 1 + 1 n 2

Perceba como o cálculo desse limite ficará muito mais fácil.

Passo 3

Agora calculamos de fato nosso limite.

Quando n → ∞ , 1 n 2 fica muito pequeno e se aproxima de zero:

l i m n → ∞ ln ⁡ 2 + 1 n 2 1 + 1 n 2 = l i m n → ∞ ln ⁡ 2 + 0 1 + 0

Como o limite da constante é a própria constante e ln ⁡ 2   é uma constante, temos:

l i m n → ∞ ln ⁡ 2 = ln ⁡ 2

Então, a sequência converge para ln ⁡ 2 , tranquilo?

Resposta

Sequência convergente.

l i m n → ∞   a n = ln ⁡ 2

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