Enunciado

23.Calcular a derivada y ´ = d y d x das seguintes funções definidas na forma paramétrica. Para quais valores de t , y ´ está definida?

c )

x = 3 cos ⁡ t y = 4 sin ⁡ t ,   t ∈ π , 2 π

Passo 1

Temos uma função definida implicitamente, ela não tem bem a forma convencional, mas não é nada difícil! Apenas requer atenção e que você lembre da fórmula da derivada de função implícita que é essa aqui:

y ' = d y d x = y ´ ( t ) x ´ ( t )

Passo 2

y ´ ( t ) é a derivada de y , porém em t ,   ou seja temos que derivar essa expressão aqui de baixo:

y ' = 4 sin ⁡ t ' = 4 cos ⁡ t

x ´ ( t ) é a derivada de x , porém em t ,   ou seja temos que derivar essa expressão aqui de baixo:

x ' = 3 cos ⁡ t ' = - 3 sin ⁡ t

Passo 3

Agora vamos voltar para a fórmula que te falei lá no passo 1!!

y ' = d y d x = y ´ ( t ) x ´ ( t ) = 4 cos ⁡ t - 3 sin ⁡ t = - 4 3 cot ⁡ t

Para quais valores que a cotangente está definida?

Ora, para todos exceto os que anulam o sin ⁡ t , ou seja para os valores de t do intervalor π , 2 π menos o π e o 2 π . Representamos isso matematicamente dessa forma aqui:

π , 2 π

Resposta

- 4 3 cot ⁡   t         π , 2 π

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