24.Determinar a equação da reta tangente à elipse

x = 2 cos ⁡ t y = 3 sin ⁡ t ,   t ∈ 0 , 2 π

No ponto P 2 , 3 2 2

Passo 1

Temos uma função definida implicitamente, ela não tem bem a forma convencional, mas não é nada difícil! Apenas requer atenção e que você lembre da fórmula da derivada de função implícita que é essa aqui:

y ' = d y d x = y ´ ( t ) x ´ ( t )

E essa derivada é o coeficiente angular da reta tangente, que tem uma equação dessa forma aqui:

y - y o = m x - x o

Em que m é o coeficiente angular e x o , y o é o ponto dado.

y - 3 2 2 = m x - 2

Passo 2

y ´ ( t ) é a derivada de y , porém em t ,   ou seja temos que derivar essa expressão aqui de baixo:

y ' = 3 sin ⁡ t ' = 3 cos ⁡ t

x ´ ( t ) é a derivada de x , porém em t ,   ou seja temos que derivar essa expressão aqui de baixo:

x ' = 2 cos ⁡ t ' = - 2 sin ⁡ t

Passo 3

Agora vamos voltar para a fórmula que te falei lá no passo 1!!

y ' = d y d x = y ´ ( t ) x ´ ( t ) = 3 cos ⁡ t - 2 sin ⁡ t = - 3 2 cot ⁡ t

Vamos descobrir a expressão cot ⁡ t .

2 = 2 cos ⁡ t

E

3 2 2 = 3 sin ⁡ t

Ajeitando essa expressão, temos:

cos ⁡ t = 2 2

sin ⁡ t = 2 2

Então

cot ⁡ t = 1

m = y ' = - 3 2 1 = - 3 2

Substituindo na expressão da reta, temos:

y - 3 2 2 = - 3 2 x - 2

2 y - 3 2 = - 3 x + 3 2

2 y + 3 x - 6 2 = 0

Resposta

2 y + 3 x - 6 2 = 0

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