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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.5 - Ex. 25

25. Explique, usando os Teoremas 4, 5, 7 ou 9, por que a função é continua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.

F x = x x 2 + 5 x + 6

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

F x = x x 2 + 5 x + 6

E queremos descobrir o domínio de F x e precisamos usar os teoremas 4, 5, 7 ou 9 pra explicar por que que a nossa função é contínua em todo o seu domínio!

Parece complicado?

Primeiro vamos ver o que os teoremas dizem

Aqui temos uma função polinomial com denominador, então os teoremas que fazem sentido aqui são os 4 e 5!

Vamos usá-los para responder essa questão!

Bora lá!

Passo 2

Antes de qualquer coisa, vamos determinar o domínio e nos passos seguintes a gente vai olhando pra cada teorema, beleza?!

Pra definir o domínio temos que procurar pontos problemáticos dessa função! Nesse caso o denominador deve ser diferente de zero, então vamos calcular os pontos onde ele é igual a zero:

x 2 + 5 x + 6 = 0

Por Bhaskara, temos que

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 5 ± 5 2 - 4 1 6 2 1

Logo, as raízes do nosso denominador são

x = - 2

x = - 3

Portanto o domínio é: x ∈ ( - ∞ , - 3 ) ∪ ( - 3 , - 2 ) ∪ ( - 2 , ∞ )

D o m F x = x ∈ R x ≠ - 3 , x ≠ - 2

Show?

Passo 3

O teorema 4 diz que:

Nesse caso a propriedade 5   é a que encaixa no nosso problema...

f g   c o m   g a ≠ 0

Vamos trazer isso pra nossa realidade! Temos que:

F x = x x 2 + 5 x + 6

Podemos dizer que:

F x = f x g x

Então o nosso caso se encaixa em:

f g   c o m   g a ≠ 0

Onde g a = g - 2 = g - 3 como vimos no passo 2!

Para F ( x ) ser contínua em a ela não pode resultar em uma indeterminação e é exatamente isso que vimos com o teorema 4 , a nossa função é contínua em todo o seu domínio, porque o seu domínio exclui os pontos de indeterminação!

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora vamos olhar o teorema 5 :

  • Qualquer polinômio é contínuo em toda a parte; ou seja, é contínuo em R = - ∞ ,   ∞
  • Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida; ou seja, é contínua em seu domínio

A nossa função é uma função racional de polinômios,

F x = f x g x = x x 2 + 5 x + 6

Então, segundo o teorema 5 temos que f ( x ) e g ( x ) é contínua em todos os números reais! Mas como a nossa função é racional, então F ( x ) são não será contínua quando tivermos algum tipo de indeterminação!

Como vimos lá no passo 2, o seu domínio exclui os pontos de indeterminação! Então, segundo o teorema 5 F ( x ) é contínua em todo o seu domínio!

E fim!! O que achou? Responde Aí!

Resposta

Desenvolvimento acima.

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