42-Prove a parte (b) d Teorema 1.5 . 4 .

Passo 1

O Teorema em questão nos diz o seguinte:

Uma função racional é continua em cada ponto em que o denominador não se anula e tem descontinuidades nos pontos em que o denominador é zero.

Mas sabe de uma coisa.... Esse Teorema vem desse outro:

Se as funções f e g forem contínuas em c , então:

(f)/(g) é contínua em c se g ( c ) != 0 e tem descontinuidade em c se g (c) = 0 .

Isso quer dizer que se provarmos esse último Teorema estaremos respondendo a questão, certo ?

Passo 2

Vamos considerar o primeiro caso em que c é uma das raízes da função polinomial g ( x ) e, portanto, g (c) = 0 . Dessa forma, f ( c ) // g ( c ) está indefinida, logo a função f // g tem uma descontinuidade em c .

Agora, vamos considerar o caso em que g ( c ) != 0 . Dessa forma, a função racional será contínua em c , se:

underset(x -> c)(lim) (f (x))/(g (x)) = (f (c))/(g (c))

Bom.... Uma vez que f e g são contínuas em c ,

underset(x -> c)(lim) f (x) = f ( c ) e underset(x -> c)(lim) g (x) = g ( c )

Como o limite de um quociente é o quociente dos limites (desde que o limite do denominador não seja zero), temos:

underset(x -> 0)(lim) (f (x))/(g (x)) = underset(x -> c)(lim) f (x) // ( underset(x -> 0)(lim) g (x) = (f (c))/(g (c))

Fim!

Resposta

Demonstração acima.

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