Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 42
42-Prove a parte d Teorema .
Passo 1
O Teorema em questão nos diz o seguinte:
Uma função racional é continua em cada ponto em que o denominador não se anula e tem descontinuidades nos pontos em que o denominador é zero.
Mas sabe de uma coisa.... Esse Teorema vem desse outro:
Se as funções e forem contínuas em , então:
é contínua em se e tem descontinuidade em se .
Isso quer dizer que se provarmos esse último Teorema estaremos respondendo a questão, certo ?
Passo 2
Vamos considerar o primeiro caso em que é uma das raízes da função polinomial e, portanto, . Dessa forma, está indefinida, logo a função tem uma descontinuidade em .
Agora, vamos considerar o caso em que . Dessa forma, a função racional será contínua em , se:
Bom.... Uma vez que e são contínuas em ,
e
Como o limite de um quociente é o quociente dos limites (desde que o limite do denominador não seja zero), temos:
Fim!
Resposta
Demonstração acima.