25. Se R for a região do Exercício 24, use o teorema de Pappus para encontrar o volume do sólido de revolução gerado com a revolução de R em torno da reta x - y = r . (Sugestão: use o resultado do Exercício 4.6 nos Exercícios 4.8)

Passo 1

Vamos ver a definição do teorema e aplica-lo pra essa região.

Passo 2

O teorema de Pappus diz que

V = 2 π x - A

Onde x - é a distância do centroide formado por R até a reta x - y - r = 0 . A área é π r 2 2 por ser gerada por um semicírculo. No exercício citado, o centroide está no ponto 0 , 4 r 3 π

Passo 3

Agora, pela fórmula da distância de um ponto até uma reta:

x - = 0 - 4 r 3 π 1 2 + ( - 1 ) 2 = 2 2 4 r 3 π + r

Passo 4

Colocando na fórmula do volume:

V = 2 π 2 2 4 r 3 π + r π r 2 2 = 2 6 ( 4 + 3 π ) π r 3

Pronto

Resposta

V = 2 6 ( 4 + 3 π ) π r 3

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