Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.21 - Ex. 25
25.Determinar as equações da reta tangente e da reta normal à astróide.
No ponto .
Passo 1
Temos uma função definida implicitamente, ela não tem bem a forma convencional, mas não é nada difícil! Apenas requer atenção e que você lembre da fórmula da derivada de função implícita que é essa aqui:
E essa derivada é o coeficiente angular da reta tangente, que tem uma equação dessa forma aqui:
Para a reta normal, temos
Passo 2
é a derivada de , porém em ou seja temos que derivar essa expressão aqui de baixo:
Para fazermos essa derivada usaremos a regra da cadeia
Agora vamos derivar
é a derivada de , porém em ou seja temos que derivar essa expressão aqui de baixo:
Para fazermos essa derivada usaremos a mesma regra de cima, a regra de cadeia!!!
Agora vamos derivar
Passo 3
Agora vamos voltar para a fórmula que te falei lá no passo 1!!
Cortando o produto no denominador e no numerador, podemos cortar, pois para o ponto nem o nem o são nulos.
Vamos descobrir a expressão.
E
Ajeitando essa expressão, temos:
Então
Substituindo na expressão da reta tangente, temos:
Agora para a reta normal, temos:
Resposta