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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.4 - Ex. 26

O número de galões de água em um tanque, t minutos após o início de seu esvaziamento, é dado por Q ( t )   =   200 30   -   t 2 . A que taxa a água escoará ao final de 10 minutos? Qual é a taxa média de saída da água durante os 10 primeiros minutos?

Passo 1

Pra começar galera, vamos lembrar que taxa é a mesma coisa que derivada em relação ao tempo. Portanto, como:

Q ( t )   =   200 ∙ 30   -   t 2

Onde Q ( t ) é o número de galões de água em um tanque, t minutos após o início de seu esvaziamento, a taxa de esvaziamento será:

Q ' t = d Q d t = d 200 30   -   t 2 d t

Q ' t = 200 ∙ d 30   -   t 2 d t

Pela regra da cadeia:

Q ' t = 200 ∙ 2 ∙ 30   -   t ∙ d 30   -   t d t

Q ' t = 200 ∙ 2 ∙ 30   -   t ∙ d 30 d t - d t d t

Q ' t = 200 ∙ 2 ∙ 30   -   t ∙ 0 - 1

Q ' t = 400 ∙ t - 30

Agora só precisamos calcular essa taxa no tempo t = 10 minutos

Q ' 10 = 400 ∙ 10 - 30

Q ' 10 = 400 ∙ - 20

Q ' 10 = - 8.000   g a l õ e s / m i n u t o

Note que o valor negativo faz sentido visto que estamos falando de esvaziamento. Ou seja, temos que ter perda de galões por unidade de tempo!

Passo 2

A taxa média vai ser dada pela variação total do numero de galões dividido pelo tempo. No instante inicial, quantos galões nós tínhamos? Tranquilo de achar, basta fazer Q ( 0 ) . Seja:

Q ( t )   =   200 ∙ 30   -   t 2

No instante inicial teremos:

Q ( 0 )   =   200 ∙ 30   -   0 2

Q 0 =   200 ∙ 30 2

Q 0 =   200 ∙ 900

Q 0 =   180 . 000   g a l õ e s

E após 10 minutos, quantos galões temos? Pô, só fazer Q 10 ! Então teremos:

Q ( 1 0 )   =   200 ∙ 30   -   1 0 2

Q 1 0 =   200 ∙ 2 0 2

Q 1 0 =   200 ∙ 400

Q 1 0 =   80 . 000   g a l õ e s

A variação do número de galões nesse tempo será então:

∆ Q = Q 10 - Q 0 = 80.000 - 180.000

∆ Q = - 100.000   g a l õ e s

Veja que novamente temos um número negativo na variação, o que faz todo sentido do mundo quando lembramos que estamos perdendo galões com o tempo. Por falar em tempo, a variação de tempo será:

∆ t = 10 - 0 = 10   m i n u t o s

Portanto a taxa média T m será:

T m = ∆ Q ∆ t = -   100000 10

T m = - 10.000   g a l õ e s / m i n u t o

Resposta

Taxa que a água escoara ao final dos 10 min: Q ' 10 = - 8.000   g a l õ e s / m i n u t o

A taxa média:

T m = - 10.000   g a l õ e s / m i n u t o

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